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-1-2.2点的极坐标与直角坐标的互化1.点P的直角坐标为(-),那么它的极坐标可表示为()A.B.C.D.解析:ρ==2,tanθ==-1,∵点P在第二象限,∴最小正角θ=.答案:B2.已知点M的极坐标为,下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是()A.B.C.D.解析:化为直角坐标可知,点M在第三象限,而选项A中的点在直角坐标系中的第四象限.答案:A3.在极坐标系中,若等边△ABC的两个顶点是A,B,那么可能是顶点C的坐标的是()A.B.C.(2,π)D.(3,π)-2-解析:如图,由题设,可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.又|AB|=4,△ABC为正三角形,∴|OC|=2,∠AOC=,点C的极角θ=,即点C的极坐标为.答案:B4.在极坐标系中,极坐标化为直角坐标为()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)解析:x=ρcosθ=cos=-1,y=ρsinθ=sin=-1,故所求直角坐标为(-1,-1).答案:D5.已知A,B的极坐标分别是,则A和B之间的距离等于()A.B.C.D.解析:A,B两点在极坐标系中的位置如图.-3-则由图可知∠AOB=.在△AOB中,|AO|=|BO|=3,所以,由余弦定理,得|AB|2=|OB|2+|OA|2-2|OB|·|OA|·cos=9+9-2×9×=18+9(1+)2.∴|AB|=.答案:C6.(1)把点M的极坐标化成直角坐标为;(2)把点P的直角坐标(,-)化成极坐标为.(ρ0,2π≤θ4π)解析:(1)x=8cos=-4,y=8sin=4,因此,点M的直角坐标是(-4,4).(2)ρ==2,tanθ==-,又点P在第四象限,且2π≤θ4π,故θ=.因此,点P的极坐标为.答案:(1)(-4,4)(2)-4-7.点A在条件:(1)ρ0,θ∈(-2π,0)下的极坐标是;(2)ρ0,θ∈(2π,4π)下的极坐标是.解析:(1)当ρ0时,点A的极坐标形式为(k∈Z),∵θ∈(-2π,0),令k=-1,点A的极坐标为,符合题意.(2)当ρ0时,的极坐标的一般形式是(k∈Z).∵θ∈(2π,4π),当k=1时,点A的极坐标为,符合题意.答案:(1)(2)8.已知两点的极坐标A,B,则|AB|=,直线AB的倾斜角为.解析:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=,即△AOB为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3,∠ACx=(O为极点,C为直线AB与极轴的交点).答案:39.已知点Q(ρ,θ),分别按下列条件求出点P的极坐标.(1)点P是点Q关于极点O的对称点;(2)点P是点Q关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点.解:(1)由于P,Q关于极点对称,得它们的极径|OP|=|OQ|,极角相差(2k+1)π(k∈Z).所以,点P的极坐标为(ρ,(2k+1)π+θ)(k∈Z).(2)由P,Q关于过极点且垂直于极轴的直线对称,得它们的极径|OP|=|OQ|,点P的极角θ'满足θ'=π-θ+2kπ(k∈Z).所以点P的极坐标为(ρ,(2k+1)π-θ)(k∈Z).10.按要求表示下列各点.(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标:-5-①;②;③(5,π).(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ0,0≤θ2π).①(,3);②(-3,0).解:(1)①x=·cos=1,y=·sin=1,所以点的直角坐标为(1,1).②x=6·cos=3,y=6·sin=-3.所以点的直角坐标为(3,-3).③x=5·cosπ=-5,y=5·sinπ=0,所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).(2)①ρ==2,tanθ=.又因为点在第一象限,所以θ=.所以点(,3)的极坐标为.②ρ==3,极角为π,所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).-6-