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-1-§3柱坐标系和球坐标系首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法.2.掌握点的坐标系之间的互化,并能解决简单的实际问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.柱坐标系在平面极坐标系的基础上,通过极点O,再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴,这样就建立了柱坐标系(如图).设M(x,y,z)为空间一点,并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r,θ),则这样的三个数r,θ,z构成的有序数组(r,θ,z)就叫作点M的柱坐标,这里规定r,θ,z的变化范围为0≤r+∞,0≤θ2π,-∞z+∞.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习特别地,r=常数,表示的是以z轴为轴的圆柱面;θ=常数,表示的是过z轴的半平面;z=常数,表示的是与xOy平面平行的平面.显然,点M的直角坐标与柱坐标的关系为𝑥=rcos𝜃,𝑦=rsin𝜃,𝑧=𝑧.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考1空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法,它们有什么联系和区别?提示:在直角坐标系中,我们需要三个长度x,y,z;而在柱坐标系中,我们需要长度,还需要角度,它是从长度、方向来描述一个点的位置,需要r,θ,z.空间直角坐标:设点M为空间JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x,y,z).这个数组(x,y,z)就叫作点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图所示)坐标为(x,y,z)的点M通常记为M(x,y,z).这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组(x,y,z)之间的一一对应关系.如果点M在yOz平面上,则x=0;同样,zOx平面上的点,y=0;xOy平面上的点,z=0.如果点M在x轴上,则y=z=0;如果点M在y轴上,则x=z=0;如果点M在z轴上,则x=y=0.如果M是原点,则x=y=z=0等.这两种三维坐标互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.球坐标系设M(x,y,z)为空间一点,点M可用这样三个有次序的数r,φ,θ来确定,其中r为原点O到点M间的距离,φ为有向线段𝑂𝑀与z轴正方向所夹的角,θ为从z轴正半轴看,x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段𝑂𝑃的角,这里P为点M在xOy平面上的投影(如图).这样的三个数r,φ,θ构成的有序数组(r,φ,θ)叫作点M的球坐标,这里r,φ,θ的变化范围为0≤r+∞,0≤φ≤π,0≤θ2π,JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习特别地,r=常数,表示的是以原点为球心的球面;φ=常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面;θ=常数,表示的是过z轴的半平面.点M的直角坐标与球坐标的关系为𝑥=|𝑂𝑃|cos𝜃=rsin𝜑cos𝜃,𝑦=|𝑂𝑃|sin𝜃=rsin𝜑sin𝜃,𝑧=rcos𝜑.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考2在研究空间图形的几何特征时,应该怎样建立坐标系?提示:我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等.坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点,在实际应用时,我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系,借助坐标系方便、简捷地研究问题.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时,可以利用这三条直线直接建系.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是图形中有一定的对称关系(如:正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等),我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题.有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线,但是有两个互相垂直的平面,我们可以利用面面垂直的性质定理,作出互相垂直且相交于一点的三条直线,建立空间坐标系.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一直角坐标与柱坐标的互化由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,可先设出点M的柱坐标为(r,θ,z),代入变换公式𝑥=𝑟cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜃,𝑧=𝑧求r,也可利用r2=x2+y2求r,利用tanθ=𝑦𝑥(x≠0)求θ,在求θ的时候特别注意θ所在的象限,从而确定θ的值.同样由上面公式,由柱坐标易求直角坐标.【典型例题1】将点M的直角坐标化为柱坐标,将点P的柱坐标化为直角坐标.(1)M(-1,3,2);(2)P2,π4,1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四思路分析:利用相关公式代入进行转化求值.解:(1)设M点的柱坐标为(r,θ,z),则有𝑥=𝑟cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜃,𝑧=𝑧⇒-1=𝑟cos𝜃,3=rsin𝜃,𝑧=2⇒tanθ=-3.又∵0≤θ2π,x0,∴θ=2π3,r=2.∴M点的柱坐标为2,2π3,2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)设P点的直角坐标为(x,y,z),则有𝑥=𝑟cos𝜃=2cosπ4=2,𝑦=𝑟sin𝜃=2sinπ4=2,𝑧=𝑧=1,∴点P的直角坐标为(2,2,1).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二直角坐标与球坐标的互化由点M的直角坐标化为球坐标时,可以先设点M的球坐标为(r,φ,θ),再利用变换公式𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃,𝑧=𝑟cos𝜑求出r,φ,θ代入点的球坐标即可;也可以利用r2=x2+y2+z2,tanθ=𝑦𝑥,cosφ=𝑧𝑟.由直角坐标求球坐标,在确定θ和φ的取值时,要特别注意θ和φ的取值范围以及点M的位置,由球坐标化为直角坐标时,可直接代入变换公式,计算x,y,z的值即可.【典型例题2】将点M的直角坐标化为球坐标,点P的球坐标化为直角坐标.(1)M(1,3,2);(2)P2,π6,π3.思路分析:利用相关公式代入进行转化求值.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)设M点的球坐标为(r,φ,θ),则有𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃,𝑧=𝑟cos𝜑⇒1=𝑟sin𝜑cos𝜃,3=rsin𝜑sin𝜃,2=𝑟cos𝜑,∴tanθ=3.∵0≤θ2π,x0,∴θ=π3,r=𝑥2+𝑦2+𝑧2=12+(3)2+22=22.∴2=22cosφ.∴cosφ=22.∵0≤φ≤π,∴φ=π4.∴M点的球坐标为22,π4,π3.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)设P点的直角坐标为(x,y,z),则有𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃=2sinπ6cosπ3=12,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃=2sinπ6sinπ3=32,𝑧=𝑟cos𝜑=2cosπ6=3.∴P点的直角坐标为12,32,3.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题3】已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,高为63,以这个长方体顶点A为坐标原点,以射线AB,AD,AA1分别为Ox,Oy,Oz轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求正方体顶点C1的空间直角坐标、球坐标和柱坐标.思路分析:先求直角坐标系中的直角坐标,再利用公式求出其球坐标和柱坐标.解:如图,点C1的直角坐标为1,1,63,在球坐标系中,由r=12+12+69=263,cosφ=63263=12,tanθ=1,得θ=π6,φ=π4,即C1的球坐标为263,π6,π4.在柱坐标系中,由r=2,cosθ=12,z=63,得θ=π4,即C1的柱坐标为2,π4,63.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四点评正确地求出点C1的直角坐标是前提,应用直角坐标和柱坐标、球坐标的转化公式是关键.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三实际应用问题应用坐标系解决实际问题时,应根据实际,建立适当的坐标系,可先求出最易求的点P的一种坐标,再根据需要转化为其他的坐标.【典型例题4】一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,…,十六区,我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200m,每相邻两排的间距为1m,每层看台的高度为0.7m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,把点A的坐标求出来.思路分析:求空间中一点的柱坐标,与求平面极坐标类似,需要确定极径、极角,只是比平面极坐标多了一个量,即点在空间中的高度.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:以圆形体育场中心O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203m,极轴Ox按逆时针方向旋转17π16,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.∴点A的柱坐标为203,17π16,2.8.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点未注意有关角的范围致误【典型例题5】设点M的直角坐标为(-1,-1,2),求它的球坐标和柱坐标.错解:因为r=𝑥2+𝑦2+𝑧2=1+1+2=2,cosφ=22,tanθ=𝑦𝑥=1,所以φ=π4,θ=π4.所以点M的球坐标为2,π4,π4,柱坐标为2,π4,2.错因分析:由tanθ=-1-1=1,得θ=5π4,这里未根据点所在象限,误认为θ=π4.另外,在柱坐标系中,r=𝑥2+𝑦2=2.正解:点M的球坐标为2,π4,5π4,柱坐标为2,π4,2.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.设点M的直角坐标为(1,-3,9),则它的柱坐标是()A.2,π3,9B.2,2π3,9C.2,4π3,9D.2