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-1-本章整合JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程平面直角坐标轴中的伸缩变换极坐标系极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(x≠0)直线和圆的极坐标方程曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化,公式𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃圆锥曲线统一的极坐标方程:𝜌=𝑒𝑝1-𝑒cos𝜃(e=1时为抛物线,e1时为双曲线,0𝑒1时为椭圆)柱坐标系柱坐标系的概念点的直角坐标与柱坐标的互化,公式𝑥=𝑟cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜃,𝑧=𝑧.点M的直角坐标(x,y,z),柱坐标(r,θ,z)球坐标系球坐标系的概念点的直角坐标与球坐标的互化,公式𝑥=𝑟sin𝜑cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜑sin𝜃,𝑧=𝑟cos𝜑,点M的直角坐标(x,y,z),球坐标(r,φ,θ)ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题一求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的方法和步骤,和求直角坐标方程类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹,将已知条件用曲线上点的极坐标ρ,θ的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极坐标方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三【应用】☉O为定圆,A是☉O内的定点,OB为任一半径,连接AB,过点A作AP⊥AB交OB于点P,求点P的轨迹方程.提示:建立极坐标系求轨迹方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三解:以O为极点,射线OA为极轴建立如图所示的极坐标系.设P(ρ,θ),OA=a,OB=r,则在△AOP中,由余弦定理,得AP2=ρ2+a2-2aρcosθ.在△AOB中,由余弦定理,得AB2=a2+r2-2arcosθ.因为AP⊥AB,所以AP2+AB2=BP2=(r-ρ)2,即ρ2+a2-2aρcosθ+a2+r2-2arcosθ=(r-ρ)2.故所求轨迹方程为ρ=𝑎(𝑎-𝑟cos𝜃)𝑎cos𝜃-𝑟.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题二极坐标与直角坐标的互化极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系.同一个点可以有极坐标,也可以有直角坐标;同一条曲线可以有极坐标方程,也可以有直角坐标方程.为了研究问题的方便,有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程.它们之间的互化关系如下:x=ρcosθ,y=ρsinθ;ρ2=x2+y2,tanθ=𝑦𝑥(x≠0).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三【应用1】已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ,直线的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+7=0,则圆心到直线的距离为.提示:先将圆、直线的极坐标方程化为直角坐标方程,再求解.解析:将ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ,即有x2+y2-2x=0,亦即(x-1)2+y2=1.将ρcosθ-2ρsinθ+7=0化为x-2y+7=0,故圆心到直线的距离d=|1+7|12+(-2)2=855.答案:855ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三【应用2】把点M的极坐标-5,π6化成直角坐标.提示:利用x=ρcosθ,y=ρsinθ进行转化.解:x=-5cosπ6=-532,y=-5sinπ6=-52.所以点M的直角坐标是-532,-52.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题三用极坐标法求最值借助于点的极坐标或曲线的极坐标方程,将最值问题转化为三角函数问题求解.【应用1】如图,过抛物线y2=2px(p0)的顶点O,作两条互相垂直的弦OA,OB,求△AOB的最小值.提示:利用极坐标进行转化求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三解:取原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则抛物线y2=2px的极坐标方程为ρ=2𝑝cos𝜃sin2θ.设B为(ρ1,α),则A为𝜌2,π2+α,于是由ρ1=2𝑝cos𝛼sin2α,ρ2=2𝑝cosπ2+αsin2π2+α=-2𝑝sin𝛼cos2α,得S△AOB=12|ρ1ρ2|=2𝑝2|sin𝛼cos𝛼|=4𝑝2|sin2𝛼|≥4p2.故△AOB面积的最小值为4p2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三【应用2】如图,已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点,求这个平行四边形面积的最大值.提示:以左焦点为极点,则椭圆方程可以用圆锥曲线的统一方程表示.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三解:以左焦点F1为极点,F1x为极轴建立极坐标系,则椭圆方程为ρ=𝑒𝑝1-𝑒cos𝜃(0e1).设∠BF1F2=α(0απ),则BF1=𝑒𝑝1-𝑒cos𝛼,AF1=𝑒𝑝1+𝑒cos𝛼.所以AB=AF1+F1B=2𝑒𝑝1-𝑒2cos2α.过点F2作F2H⊥AB于点H,则F2H=2csinα.所以S▱ABCD=AB·F2H=4𝑒c𝑝sin𝛼1-𝑒2cos2α=4𝑎𝑏2csin𝛼𝑏2+c2sin2α=4𝑎𝑏2c𝑏2sin𝛼+c2sin𝛼.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三若b≤c,则𝑏2sin𝛼+c2sinα≥2bc,当且仅当𝑏2sin𝛼=c2sinα,即sinα=𝑏c时,S▱ABCD取得最大值4𝑎𝑏2c2𝑏c=2ab.若bc,则𝑏2sin𝛼+c2sinα=𝑏2-c2sin𝛼+c2sin𝛼+c2sin𝛼≥(b2-c2)+2c2=a2,当且仅当sinα=1时,S▱ABCD取得最大值4𝑎𝑏2c𝑎2=4𝑏2c𝑎.综上所述,当bc时,(S▱ABCD)max=4𝑏2c𝑎;当b≤c时,(S▱ABCD)max=2ab.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习