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-1-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积A组1.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V1和V2,则V1∶V2=()A.1∶3B.1∶1C.2∶1D.3∶1解析:V1∶V2=(Sh)∶=3∶1.答案:D2.将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的()A.B.C.D.解析:设正方体的棱长为1,已知截去的每一个角都是一个三棱锥,且每个三棱锥的体积都等于,因此,截去的四个三棱锥的体积为,则剩余的四面体的体积为.答案:B3.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于()A.6B.6πC.3πD.6π解析:圆台的两底面半径分别是1,2,高为2,则母线长为,则其侧面积等于π(1+2)×=3π.答案:C4.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是,其中S为底面面积,h为高()A.3B.2C.D.1解析:由俯视图知该三棱锥的底面积S底=×2×,由侧视图知该三棱锥的高h=.所以V三棱锥=S底×h==1,故选D.答案:D5.若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是()-2-A.B.C.D.解析:设正方形的边长为a,圆柱的底面圆的半径为r,则2πr=a,r=,所以圆柱的底面积为,侧面积为a2,全面积与侧面积的比是.答案:D6.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为.解析:由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图,设圆锥底面半径为r,高为h,则解得故它的体积为×π×12×.答案:7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为.解析:S柱=2×π+2π··a=πa2,S锥=π+π··a=πa2.∴S柱∶S锥=2∶1.答案:2∶18.如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是.解析:两个同样的该几何体能拼接成一个高为a+b的圆柱,则拼接成的圆柱的体积V=πr2(a+b),所以所求几何体的体积为.答案:9.如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.-3-解:设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积为S.则R=OC=2,AC=4,AO==2.如图所示易知△AEB∽△AOC,∴,即,∴r=1.S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=2π.∴S=S底+S侧=2π+2π=(2+2)π.B组1.将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体,则表面积增加了()A.6a2B.12a2C.18a2D.24a2解析:棱长为a的正方体的表面积为S1=6a2,由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2=27×=18a2,因此表面积增加了12a2.答案:B2.如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1,高为2的矩形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面积为()A.2πB.C.4πD.5π解析:由三视图可知此空间几何体为一个圆柱,其表面积为π×2+2π××2=.-4-答案:B3.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.72cm3B.90cm3C.108cm3D.138cm3解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左侧是一个直三棱柱,右侧是一个长方体.其中三棱柱的底面是一个直角三角形,其两直角边长分别是3cm和4cm,三棱柱的高为3cm,因此其体积V1=Sh=×4×3×3=18(cm3).长方体中三条棱的长度分别为4cm,6cm,3cm,因此其体积V2=4×6×3=72(cm3).故该几何体的体积V=V1+V2=18+72=90(cm3),故选B.答案:B4.一个几何体的三视图如图,俯视图为等边三角形,若其体积为8,则a=.解析:该几何体为正三棱柱,由俯视图可知底面正三角形的边长为4,所以该正三棱柱的体积为×42×a=8,解得a=2.答案:25.如图,圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为.解析:设圆台的上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.由母线长为10可知10==5r,解得r=2.-5-则圆台的上、下底半径和高分别为2,8,8.故圆台的侧面积为π(2+8)×10=100π.答案:100π6.(2014天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.解析:由三视图知该几何体上面为圆锥,下面为圆柱.V=π×22×2+π×12×4=π.答案:π7.如图,圆锥形封闭容器,高为h,圆锥内水面高为h1,且h1=h,若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为h2,求h2.解:因为,所以.倒置后的体积关系为,所以h2=h.8.已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.解:如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.-6-∵OE=2cm,∠OPE=30°,∴PE=2OE=4cm.因此S侧=4×PE×BC=4××4×4=32(cm2),S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).