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-1-1.3.2球的体积和表面积A组1.若一个球的体积扩大到原来的27倍,则它的表面积扩大到原来的()A.3倍B.3倍C.9倍D.9倍答案:C2.一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于()A.4B.8C.8D.8解析:设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,解得R=1.因为正方体内接于球,所以x=2R=2,所以x=,故S正=6x2=6×=8.答案:B3.一个各棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上,则该球的表面积为()A.3πB.4πC.3πD.6π解析:以四面体的棱为正方体的面对角线构造正方体,则四面体的外接球就是正方体的外接球,且正方体的棱长为1,设球半径为R,所以2R=,所以S球=4πR2=3π.答案:A4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A.9πB.10πC.11πD.12π-2-解析:该几何体的上部是一个球,其表面积是4π×12=4π;下部是一个圆柱,其表面积是2π×1×3+2π×12=8π,则该几何体的表面积是4π+8π=12π.答案:D5.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为()A.B.C.8πD.解析:设球的半径为R,截面圆的半径为r,所得截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为πR3=.答案:D6.用过球心的平面将一个球平均分成两个半球,则两个半球的表面积是原来整球表面积的倍.解析:设球半径为R,则球表面积为S1=4πR2,两个半球的表面积为S2=2(2πR2+πR2)=6πR2,∴S2∶S1=6∶4=3∶2.答案:7.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高4cm,则钢球的半径是.解析:设钢球半径为rcm,则r3=π×32×4,即r=3.答案:3cm8.球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为.解析:如图,设球半径为r,则球心到该圆锥底面的距离是,于是圆锥的底面半径为.因为圆锥的高为,所以圆锥的体积为×π×r3,球的体积为r3,所以该圆锥的体积和此球体积的比值为.答案:9.-3-某组合体的直观图如图,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.10.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,且各顶点都在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,求此球的表面积.解:设球心为O,球半径为R,△ABC外接圆的圆心为M,则O在底面ABC上的射影就是点M.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,∴∠MAC=60°.又MA=MC,∴MA=MC=AC=2.∴R2=22+=5.∴此球的表面积为S=4πR2=20π.B组1.一个体积为1cm3的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是()A.πcm2B.3πcm2C.9πcm2D.12πcm2解析:体积为1cm3的正方体的棱长为1cm,所以球的半径为cm,表面积为3πcm2.答案:B2.有一个球与棱长为a的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为()A.a3B.a3C.a3D.a3解析:由题意可知正方体的面对角线是球的直径,设球的半径为r,则r=a,故V=a3.答案:C3.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3-4-解析:设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角形,如图.BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,由R2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为π53=π(cm3),故选A.答案:A4.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.解析:设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.答案:45.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的体积为.解析:由题意得,该正四棱柱的底面边长为2,外接球的直径就是该正四棱柱的对角线,所以外接球的半径为,所以该球的体积为)3=8π.答案:8π6.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.解析:-5-作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=×7=.答案:7.据说阿基米德死后,敌军将领给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个图案(如图),图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由题意,圆锥的底面半径为r,高为h,∴V圆锥=πr2h.球的半径为r,∴V球=πr3.又h=2r,∴V圆锥∶V球∶V圆柱=∶(πr2h)=∶(2πr3)=1∶2∶3.8.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.解:取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.∵AB=3,∴O1C=3.在Rt△SO1C中,SC=2,∴SO1=.-6-在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,∴SE==4.∴球半径R=2.∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.9.某几何体的三视图如图所示(单位:m).(1)求该几何体的表面积S(结果保留π);(2)求该几何体的体积V(结果保留π).解:由三视图可知,该几何体的下半部分是棱长为2m的正方体,上半部分是半径为1m的半球.(1)几何体的表面积S=×4π×12+6×22-π×12=24+π(m2).(2)几何体的体积V=23+×π×13=8+(m3).