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-1-本章整合ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习结构特征多面体棱柱棱锥—棱台旋转体圆柱圆锥—圆台球柱体、锥体、台体之间的联系三视图和直观图投影中心投影平行投影三视图正视图侧视图俯视图直观图水平放置的平面图形的直观图空间几何体的直观图实物图、三视图、直观图之间的转化表面积和体积表面积多面体旋转体圆柱:𝑆=2π𝑟2+2π𝑟𝑙,𝑟是底面半径,𝑙是母线圆锥:𝑆=π𝑟2+π𝑟𝑙,𝑟是底面半径,𝑙是母线圆台:𝑆=π𝑟2+π𝑟'2+π(𝑟+𝑟')𝑙,𝑟',𝑟分别是上、下底面半径,𝑙是母线球:𝑆=4π𝑅2,𝑅是球的半径体积柱体:𝑉=𝑆ℎ,𝑆是底面积,ℎ是高锥体:𝑉=13𝑆ℎ,𝑆是底面积,ℎ是高台体:𝑉=13ℎ(𝑆+𝑆'+𝑆𝑆'),𝑆',𝑆是上、下底面面积,ℎ是高球:𝑉=4π3𝑅3,𝑅是球的半径SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五专题一空间几何体的结构特征每一种简单几何体都有区别于其他几何体的特征,这一结构特征是区分几何体的标准,我们尤其要注意特殊几何体的特征,并且要注意几何体的分类和包含关系,因为这种包含关系体现了相近几何体的区别与联系.【例1】如图所示,四棱台AC'的高是17cm,两底面分别是边长为4cm和16cm的正方形,求这个棱台的侧棱长和斜高.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五解:设棱台两底面的中心分别是O'和O,B'C',BC的中点分别是E',E.连接O'O,E'E,O'B',OB,O'E',OE,则OBB'O',OEE'O'都是直角梯形.在正方形ABCD中,BC=16cm,则OB=82cm,OE=8cm.在正方形A'B'C'D'中,B'C'=4cm,则O'B'=22cm,O'E'=2cm.在直角梯形O'OBB'中,B'B=𝑂𝑂'2+(𝑂𝐵-𝑂'𝐵')2=172+(82-22)2=19(cm).在直角梯形O'OEE'中,EE'=𝑂𝑂'2+(𝑂𝐸-𝑂'𝐸)2=172+(8-2)2=513(cm).SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五专题二三视图与直观图三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图,为了使空间图形的直观图能更直观、准确地反映空间图形的大小,往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影,然后把这些投影放在同一个平面内,并有机结合起来表示物体的形状和大小,从三视图可以看出,俯视图反映物体的长和宽,正视图反映它的长和高,侧视图反映它的宽和高.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五【例2】如图所示,已知几何体的三视图(单位:cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.思路分析:先根据三视图画出几何体的直观图,再求解.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及三棱柱(侧面都是矩形)B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=2,A1D1=AD=2,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×2+2×12×(2)2=22+42(cm2).所求几何体的体积V=23+12×(2)2×2=10(cm3).SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五专题三几何体的表面积与体积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题,也是高考考查的重点.对于一些简单的几何体,一般可直接利用公式求解;对于组合体来说就要弄清是由哪些简单几何体挖、接而成,然后再求出它们的表面积、体积的和或差.另外,在求体积时,还要特别注意割补法、顶点转换等的应用.【例3】如图所示,已知三棱柱ABC-A'B'C',侧面B'BCC'的面积是S,点A'到侧面B'BCC'的距离是a,求证:三棱柱ABC-A'B'C'的体积V=12Sa.思路分析:将三棱柱分割为两个棱锥或补成一个四棱柱,利用体积相等来证明.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五证法1:如图所示,连接A'B,A'C,这样就把三棱柱分割成了两个棱锥.显然三棱锥A'-ABC的体积是13V,而四棱锥A'-BCC'B'的体积为13Sa,故有13V+13Sa=V,所以三棱柱ABC-A'B'C'的体积V=12Sa.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五证法2:如图所示,将三棱柱ABC-A'B'C'补成一个四棱柱ACBD-A'C'B'D',其中AC∥BD,AD∥BC,即ACBD为一个平行四边形,显然三棱柱ABD-A'B'D'的体积与原三棱柱ABC-A'B'C'的体积相等.以BCC'B'为底面,高为点A'到面BCC'B'的距离,所以补形后的四棱柱的体积为Sa,于是三棱柱ABC-A'B'C'的体积V=12Sa.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五专题四几何体中截面的应用常见的截面有:对角面、轴截面、直截面、平行于底面的截面以及其他具有某种特性的截面(如平行或垂直于棱、规定角度的截面以及经过某几个已知点的截面等等).SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五【例4】一个球内有相距9的两个平行截面,它们的面积分别为49π和400π,求球的表面积.解:(1)当截面在球心的同侧时,如图①为球的轴截面,由截面性质知AO1∥BO2,O1,O2为两截面圆的圆心,且OO1⊥AO1,OO2⊥BO2.设球的半径为R,O2B为r,∵πr2=49π,∴O2B=r=7,同理,得O1A=20.设OO1=x,则OO2=x+9,在Rt△O1OA中,R2=x2+202.①在Rt△OO2B中,R2=72+(x+9)2.②联立①②可得x=15,R=25.∴S球=4πR2=2500π,图①故球的表面积为2500π.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五(2)当截面在球心的两侧时,如图②为球的轴截面,由球的截面性质知,O1A∥O2B,且O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥O1A,OO2⊥O2B.图②设球的半径为R,O2B=r1,O1A=r2,∵π𝑟12=49π,∴r1=7.∵π𝑟22=400π,∴r2=20.设O1O=x,则OO2=9-x.在Rt△OO1A中,R2=x2+400.①在Rt△OO2B中,R2=(9-x)2+49.②联立①②,解得x=-15,不合题意,舍去.综上所述,球的表面积为2500π.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五专题五转化思想的应用转化思想,其实质就是化繁为简,化难为易,化陌生为熟悉,化整为零,从而达到解决问题的目的.转化思想在本章中也有较多应用,主要体现在以下几个方面:一是立体问题平面化,如旋转体中轴截面的应用,侧面展开图的应用.二是等积变换,如三棱锥变换顶点.三是割补法的应用,把不规则的几何体通过割补转化为规则的几何体.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五【例5】如图所示,圆台母线AB长为20cm,上、下底面半径分别为5cm和10cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.解:如图所示,作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥.连接MB',P,Q分别为圆台的上、下底面的圆心.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点专题一专题二专题三专题四专题五在圆台的轴截面中,∵Rt△OPA∽Rt△OQB,∴𝑂𝐴𝑂𝐴+𝐴𝐵=𝑃𝐴𝑄𝐵.∴𝑂𝐴𝑂𝐴+20=510,∴OA=20(cm).设∠BOB'=α,由扇形𝐵𝐵'的长与底面圆Q的周长相等,得2×10×π=2×OB×π×𝛼360°,即20π=2×(20+20)π×𝛼360°,∴α=90°.∴在Rt△B'OM中,B'M=𝑂𝑀2+𝑂𝐵'2=302+402=50(cm),即所求绳长的最小值为50cm.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点