搜索
-1-第一章解三角形测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°解析:根据正弦定理得,sinB=.∵ba,∴BA=30°,∴B=60°或120°.答案:D2.在△ABC中,已知b=,c=1,B=45°,则a等于()A.B.C.+1D.3-解析:由b2=a2+c2-2accosB,得2=a2+1-2acos45°,解得a=或a=(舍去).答案:B3.如图,在200米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为()A.米B.米C.米D.米解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC=.-2-又B=120°,在△ABC中,由正弦定理,得BC=(米).答案:A4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC=()A.B.-C.±D.解析:由正弦定理得,将8b=5c及C=2B代入得,化简得,则cosB=.所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×-1=,故选A.答案:A5.在△ABC中,b=asinC,c=acosB,则△ABC一定是()A.等腰三角形,但不是直角三角形B.等边三角形C.直角三角形,但不是等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由c=acosB得,c=a·,∴a2=b2+c2,∴△ABC为直角三角形,∴b=asinC=a·=c,∴△ABC是等腰直角三角形.答案:D6.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,a+c=3,cosB=,则等于()-3-A.B.-C.3D.-3解析:由余弦定理得cosB=,解得b2=2,∴ac=b2=2.∴=ac·cos(π-B)=-2cosB=-.答案:B7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A等于()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:利用正弦定理,sinC=2sinB可化为c=2b,所以cosA==,所以A=30°.答案:A8.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为()A.4B.5C.5D.6解析:∵S△ABC=acsinB,∴c=4.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=25,∴b=5.由正弦定理2R==5(R为△ABC外接圆的半径).答案:C9.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是()A.1xB.xC.1x2D.2x2-4-解析:由题意,x应满足条件解得2x2.答案:D10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定解析:设两直角边分别为a,b,斜边为c,增加的长度为d(d0),则a2+b2=c2,新三角形的三边分别为a+d,b+d,c+d,设它们所对的角分别为A,B,C.则cosC=.∵(a+d)2+(b+d)2-(c+d)2=d2+2(a+b-c)·d0.∴cosC0,∴C为锐角.又C是最大角,所以新的三角形是锐角三角形.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=.解析:∵b+c=7,∴c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,解得b=4.答案:412.在△ABC中,BC=1,B=,当△ABC的面积等于时,sinC=.解析:设AB=c,AC=b,BC=a,则△ABC的面积S=acsinB=,解得c=4,所以b=.所以cosC==-.所以sinC=.答案:-5-13.在△ABC中,BC=3,AB=2,且+1),则A=.解析:由a=3,c=2,且,知b=-1.∴cosA==-.∴A=120°.答案:120°14.在△ABC中,a=14,A=60°,b∶c=8∶5,则该三角形的面积为.解析:设另两边长分别为8x和5x,则cos60°=,解得x=2,所以b=16,c=10.∴S△ABC=bcsinA=×16×10sin60°=40.答案:4015.一艘船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km.解析:如图,由已知条件,得AC=60km,∠BAC=30°,∠ACB=105°,∠ABC=45°.由正弦定理得,即BC=·sin∠BAC=·sin30°=30(km).答案:30-6-三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C.解:由B=π-(A+C),得cosB=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC.由已知得sinAsinC=.①由a=2c及正弦定理得sinA=2sinC.②由①②得sin2C=,于是sinC=-(舍去)或sinC=.又a=2c,所以C=.17.(6分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解:(1)由bsinA=acosB及正弦定理,得sinB=cosB,所以tanB=,所以B=.(2)由sinC=2sinA及,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2-ac.所以a=,c=2.18.(6分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csinA.(1)确定角C的大小;(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.解:(1)由a=2csinA及正弦定理,-7-得.∵sinA≠0,∴sinC=.∵△ABC是锐角三角形,∴C=.(2)∵c=,C=,由面积公式得absin,即ab=6.①由余弦定理得a2+b2-2abcos=7,即a2+b2-ab=7.②由②变形得(a+b)2=3ab+7.③将①代入③得(a+b)2=25,故a+b=5.19.(7分)在海港A正东39nmile处有一小岛B,现甲船从A港出发以15nmile/h的速度驶向B岛,同时乙船以6nmile/h的速度向北偏西30°的方向驶离B岛,不久之后,丙船则向正东方向从B岛驶出,当甲、乙两船相距最近时,在乙船观测发现丙船在乙船南偏东60°方向,问此时甲、丙两船相距多远?解:设在行驶th后,甲船到达C处,乙船到达D处,丙船到达E处,此时甲、乙两船相距最近,依题意得:CD2=CB2+BD2-2CB·BD·cos60°=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1404t+1521=351(t-2)2+117,所以,当t=2时,CD2最小,即CD取得最小值,也即此时甲、乙两船相距最近,作DF⊥AB,则∠BDF=30°,∠DBE=120°,所以∠BDE=30°,∠DEB=180°-120°-30°=30°,故△BDE为等腰三角形.所以,BE=BD=6t=6×2=12(nmile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-15×2=21(nmile).答:甲、乙两船相距最近时,甲、丙两船相距21海里.-8-