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-1-第一章解三角形测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为()A.-B.C.1D.解析:∵3a=2b,∴由正弦定理得.∴.∴=2×-1=2×-1=-1=.答案:D2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()A.3B.C.D.3解析:在△ABC中,由已知条件及余弦定理可得c2=(a-b)2+6=a2+b2-2abcos,整理得ab=6,再由面积公式S=absinC,得S△ABC=×6×sin.故选C.答案:C3.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1解析:由题意知S△ABC=AB·BC·sinB,-2-即×1×sinB,解得sinB=.∴B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=12+()2-2×1×=1.此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=12+()2-2×1×=5,解得AC=.符合题意.故选B.答案:B4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m解析:如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan60°=60(m),DB=60×tan15°=60×tan(45°-30°)=60×=60×=(120-60)m.所以BC=DC-DB=60-(120-60)=120-120=120(-1)(m),故选C.答案:C-3-5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2D.-1解析:A=π-(B+C)=π-,由正弦定理得,则a=,∴S△ABC=absinC=×2×()×+1.答案:B6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且ab,则∠B=()A.B.C.D.解析:根据正弦定理:asinBcosC+csinBcosA=b等价于sinAcosC+sinCcosA=,即sin(A+C)=.又ab,∴∠A+∠C=,∴∠B=.故选A.答案:A7.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c=()A.2B.2C.D.1解析:由正弦定理得:,-4-又∵B=2A,∴,∴cosA=,∴∠A=30°,∴∠B=60°,∠C=90°,∴c==2.答案:B8.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=()A.B.C.D.解析:在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=2+9-2××3×=5,即得AC=.由正弦定理,即,所以sin∠BAC=.答案:C9.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5解析:由23cos2A+cos2A=0,得cos2A=.∵A∈,∴cosA=.∵cosA=,∴b=5或b=-(舍).故选D.答案:D10.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于().-5-A.B.C.D.解析:在△ABC中,由余弦定理可知:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即7=AB2+4-2×2×AB×.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=-1(舍去)或AB=3.故BC边上的高AD=AB·sinB=3×sin60°=.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.解析:由2sinB=3sinC,结合正弦定理得2b=3c,又b-c=a,所以b=c,a=2c.由余弦定理得cosA===-.答案:-12.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=.解析:因为bcosC+ccosB=2b,所以由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,所以sin(π-A)=2sinB,即sinA=2sinB.-6-于是a=2b,即=2.答案:213.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.解析:由题意及余弦定理得cosA=,解得c=2.所以S=bcsinA=×4×2×sin60°=2.故答案为2.答案:214.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA=.∴sinA=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵(b-c)2≥0,∴b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=bc·sinA≤,即(S△ABC)max=.答案:15.在△ABC中,已知=tanA,当A=时,△ABC的面积为.解析:由=tanA,可得||||cosA=tanA.因为A=,所以||||·,即||||=.-7-所以S△ABC=|·sinA=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a值;(2)求sin的值.解:(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正弦定理、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cosA===-.由于0Aπ,所以sinA=.故sin=sinAcos+cosAsin=.17.(6分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知=2,cosB=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.-8-解:(1)由=2,得c·acosB=2.又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因ac,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB=,由正弦定理,得sinC=sinB=.因a=bc,所以C为锐角,因此cosC=.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=.18.(6分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.解:(1)由题意得=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,-9-sin=sin,由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sinA=,得a=.由ac,得AC,从而cosA=,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.所以△ABC的面积为S=acsinB=.19.(7分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解:(1)如题图,在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=.故由题设知,cos∠CAD=.(2)如题图,设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,-10-所以sin∠CAD==,sin∠BAD==.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=.在△ABC中,由正弦定理,.故BC==3.