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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破随堂练习巩固1.会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项二项式系数.2.掌握二项式系数的性质,并能灵活运用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习1.杨辉三角(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式:上面的二项式系数表称为杨辉三角.从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做1】利用杨辉三角,写出(a+b)7的展开式为.答案:a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b72.二项式系数的性质(1)对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C𝑛0=C𝑛𝑛,C𝑛1=C𝑛𝑛-1,…,C𝑛𝑟=C𝑛𝑛-𝑟.(2)增减性与最大值:当k𝑛+12时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取到最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数C𝑛𝑛2取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数C𝑛𝑛-12和C𝑛𝑛+12相等,且同时取得最大值.求二项式系数最大最小时,一定要搞清楚n是奇数还是偶数.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做2-1】在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n=()A.6B.7C.8D.9解析:由已知C𝑛1=C𝑛5,可知n=1+5=6.答案:AZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做2-2】在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是()A.第n项和第n+1项B.第n-1项和第n项C.第n+1项和第n+2项D.第n+2项和第n+3项解析:∵2n+1为奇数,∴二项式系数最大的项为中间两项,是第(2𝑛+1)-12+1项和第2𝑛+1+12+1项.即第n+1项和第n+2项.答案:CZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习3.各二项式系数的和(1)(1+x)n的展开式为C𝑛0+C𝑛1x+C𝑛2x2+…+C𝑛𝑟xr+…+C𝑛𝑛xn.由二项式定理,令a=1,b=x可得上式,这是赋值法在二项式中的应用.(2)C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=2n.C𝑛0+C𝑛2+C𝑛4+…=C𝑛1+C𝑛3+C𝑛5+…=2n-1.第一个式子由二项式定理,令a=1,b=1得到,第二个式子由二项式定理,令a=1,b=-1及第一个式子得到.【做一做3】3𝑥+1𝑥6的展开式中各项的系数和为.解析:令x=1,则3𝑥+1𝑥6的展开式即为各项的系数和,即(3+1)6=46.答案:46学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固1.二项式定理(a+b)n=C𝑛0an+C𝑛1an-1b+…+C𝑛𝑟an-rbr+…+C𝑛𝑛bn,从左到右是展开式,由简变繁,从右到左则是由繁变简,为什么要把二项式展开,化简为繁呢剖析:一般地,化繁为简是我们解题的基本思路,但有时候,化简为繁也是一种创举.由简变繁可以判断二项式系数的关系,如C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚,C𝑛-1𝑘-1+C𝑛-1𝑘=C𝑛𝑘等,可以更深刻地理解组合数的一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数之间的大小关系,如n是偶数,则中间一项二项式系数最大等,如果给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如2n=C𝑛0+C𝑛1+…+C𝑛𝑛,C𝑛0+C𝑛2+…=C𝑛1+C𝑛3+….从这个角度看,二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固2.在二项式定理这一节中,研究了二项式系数的三个性质,那么研究二项式系数的意义是什么呢剖析:理解研究二项式系数的意义,应从二项式定理的应用这一点进行考虑,它会涉及今后学习的内容.研究二项式系数的意义在于:一是有助于研究二项式的展开式的性质.例如当a=b=12时,二项式的展开式的各项依次是C𝑛𝑟2𝑛(r=0,1,2,…,n),而它正是概率论中最重要的随机变量的分布之一——二项分布的一个特例,可见研究二项式系数的性质对研究概率中的二项分布有着重要意义.二是由于二项式系数是一组特定的组合数,它对我们进一步认识组合数,进行组合数的计算和变形也有一定作用.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型一与杨辉三角有关的问题【例1】如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.分析:本题关键是观察数列的特征及数列的每一项在杨辉三角中的位置,把各项还原为二项展开式的二项式系数,再利用组合数求解.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三解:由图知,数列中的首项是C22,第2项是C21,第3项是C32,第4项是C31,…,第17项是C102,第18项是C101,第19项是C112.故S19=(C21+C22)+(C31+C32)+(C41+C42)+…+(C101+C102)+C112=(C21+C31+C41+…+C101)+(C22+C32+…+C112)=(2+10)×92+C123=274.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型二求展开式中各项系数的和【例2】若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.分析:所求结果与各项系数有关,可以考虑用“赋值法”解题.解:(1)令x=0,则a0=-1;令x=1,则a7+a6+…+a1+a0=27=128,①所以a7+a6+…+a1=128-(-1)=129.(2)令x=-1,则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7,②由①-②2得,a7+a5+a3+a1=12[128-(-4)7]=8256.(3)由①+②2得,a6+a4+a2+a0=12[128+(-4)7]=-8128.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三(4)∵(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)=8256-(-8128)=16384.求展开式中各项系数的和与差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数和的特征来进行.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型三易错易混题型【例3】在(1+2x)n的展开式中,最后三项的二项式系数和为56,则展开式中系数最大的项为第项.错解:最后三项的二项式系数分别为C𝑛𝑛-2,C𝑛𝑛-1,C𝑛𝑛,由题意,C𝑛𝑛-2+C𝑛𝑛-1+C𝑛𝑛=56,即n2+n-110=0.解得n=10或n=-11(舍),所以展开式共11项,从而系数最大的项为第6项.错因分析:没有对展开式中“系数最大”与“二项式系数最大”区别好.正解:最后三项的二项式系数分别为C𝑛𝑛-2,C𝑛𝑛-1,C𝑛𝑛,由题意,C𝑛𝑛-2+C𝑛𝑛-1+C𝑛𝑛=56,即n2+n-110=0,解得n=10或n=-11(舍去).设第r+1项的系数最大,通项为Tr+1=C10𝑟·2rxr,依题意Tr+1项的系数不小于Tr项及Tr+2项系数,SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三即C10𝑟·2𝑟≥C10𝑟-1·2𝑟-1,C10𝑟·2𝑟≥C10𝑟+1·2𝑟+1,化简得2(11-𝑟)≥𝑟,𝑟+1≥2(10-𝑟).解得193≤r≤223且0≤r≤10,r∈N,所以r=7.故系数最大项为T8=C10727x7=15360x7.答案:8(1)注意展开式中“系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”的区别.(2)求展开式中各项的系数的最大值,在系数均为正的前提下,只需比较相邻两个的大小,根据通项公式正确地列出不等式(组)即可.即设第r+1项的系数最大,则𝑇𝑟+1的系数≥𝑇𝑟的系数,𝑇𝑟+1的系数≥𝑇𝑟+2的系数.随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123451已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A.11B.10C.9D.8解析:∵只有第5项的二项式系数最大,∴𝑛2+1=5.∴n=8.答案:D随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123452(a+b)n二项展开式中与第r-1项系数相等的项是()A.第n-r项B.第n-r+1项C.第n-r+2项D.第n-r+3项解析:因第r-1项的系数为C𝑛𝑟-2=C𝑛𝑛-𝑟+2,所以第n-r+3项与第r-1项的系数相等.答案:D随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123453若𝑥+1𝑥𝑛展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.120解析:由2n=64,得n=6,∴Tr+1=C6𝑟x6-r1𝑥𝑟=C6𝑟x6-2r(0≤r≤6,r∈N).由6-2r=0,得r=3.∴T4=C63=20.答案:B随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123454如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为.解析:由于每行第1个数1,3,5,7,9…成等差数列,由等差数列的知识可知,an=2n-1.答案:2n-1随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破123455设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a0+a1+a2+a3+…+a10=.解析:令x=2,则(2×2-3)10=a0+a1+a2+…+a10,所以,a0+a1+…+a10=1.答案:1随堂练习巩固学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破