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-1-第一讲不等式和绝对值不等式-2-一不等式-3-1.不等式的基本性质首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握不等式的基本性质.2.学会用作差比较法比较大小.3.学会用不等式的基本性质证明不等式.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.两个实数大小的比较(1)ab⇔a-b0;(2)a=b⇔a-b=0;(3)ab⇔a-b0.2.不等式的基本性质(1)如果ab,那么ba;如果ba,那么ab.即ab⇔ba.(2)如果ab,bc,那么ac.即ab,bc⇒ac.(3)如果ab,那么a+cb+c.(4)如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acbc.(5)如果ab0,那么anbn(n∈N,n≥2).(6)如果ab0,那么anbn(n∈N,n≥2).思考1应用不等式的性质(4)时应注意什么问题?提示:在乘法法则中,要特别注意乘数c是否为零,正数或负数,例如,当c≠0时,有ab⇒ac2bc2,若无c≠0这个条件,则ab⇒ac2bc2就是错误的结论,因为c=0时,取等号,即ac2=bc2=0.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习3.比较法(1)依据:ab⇔a-b0;a=b⇔a-b=0;ab⇔a-b0.(2)步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.思考2不等式性质中的“⇒”和“⇔”是什么意思?提示:在不等式的基本性质中,条件和结论的逻辑关系有两种:“⇒”和“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”和“可逆关系”.这要求我们必须熟记和区别不同性质的条件.如ab,ab0⇒1a1b,而反之包含两种情况,即若1a1b,则有ab,ab0,或a0b.故ab,ab0与1a1b是不等价关系.温馨提示(1)0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.(2)如果ab,cd,那么a+cb+d.(3)如果ab0,cd0,那么acbd.(4)如果ab0,且ab,那么1a1b.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一不等式的基本性质对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取0、正数、负数等.探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【例1】若a,b,c∈R,ab,则下列不等式成立的是()A.1a1bB.a2b2C.ac2+1bc2+1D.a|c|b|c|解析:本题只提供了“a,b,c∈R,ab”这个条件,而不等式的基本性质中,几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要根据本题的四个选项来进行判断.选项A,还需有ab0这个前提条件;选项B,当a,b都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如2-3,但22(-3)2不正确;选项C,1c2+10,由ab就可知ac2+1bc2+1,故正确;选项D,当c=0时不正确.答案:C探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二用作差法比较大小利用作差比较法比较两个代数式大小的关键是将差变形,通常先将差变形为连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质比较差与0的大小.常用的变形技巧有因式分解、配方、通分、分子或分母有理化、平方相减等.探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【例2】若x∈R,试比较(x+1)x2+x2+1与x+12(x2+x+1)的大小.思路分析:根据两个式子的特点,先进行变形,再用作差比较法比较大小.解:∵(x+1)x2+x2+1=(x+1)x2+x+1-x2=(x+1)(x2+x+1)-x2(x+1),x+12(x2+x+1)=x+1-12(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)-12(x2+x+1),探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三∴(x+1)x2+x2+1−x+12(x2+x+1)=(x+1)(x2+x+1)-x2(x+1)-(x+1)(x2+x+1)+12(x2+x+1)=12(x2+x+1)-12(x2+x)=120.∴(x+1)x2+x2+1x+12(x2+x+1).点评比较大小的一般方法是作差比较法,先作差,再判断差与0的大小关系,若a-b0,则ab;若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b.作差比较法的步骤是:①作差;②变形;③定号;④下结论.探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三用不等式性质证明不等式利用不等式的基本性质解决问题时,一定要注意各性质的条件和结论.在运用不等式性质进行不等式的变形时,要尽可能地采用等价变形的手法.【例3】已知ab,cd,求证:a-cb-d.思路分析:观察已知的两个不等式与要求证的不等式发现由已知到求证,ab不用变形,只需变cd为-c-d就接近要求证的不等式了.证法一:∵cd,∴-c-d.又∵ab,∴a+(-c)b+(-d),即a-cb-d.证法二:∵ab,cd,∴a-b0,d-c0.∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)0.∴a-cb-d.探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评通过观察发现需要证明的结论与已知条件之间的联系,利用不等式的基本性质进行证明.探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究四易错辨析易错点:忽略不等式中等号不能同时取到的情况而致误【例4】已知-𝜋2≤αβ≤𝜋2,求α+β2,α-β2的取值范围.错解:∵-𝜋2≤αβ≤𝜋2,∴-𝜋4≤α2≤𝜋4,-𝜋4≤β2≤𝜋4,因而两式相加得-𝜋2≤α+β2≤𝜋2.又∵-𝜋4≤-β2≤𝜋4,∴-𝜋2≤α2−β2≤𝜋2,∴-𝜋2≤α-β2≤𝜋2.错因分析:在解答本题的过程中易出现-𝜋2≤α+β2≤𝜋2和-𝜋2≤α-β2≤𝜋2的错误,导致该种错误的原因是忽视了α2,β2都不能同时取到𝜋4和-𝜋4.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解:∵-𝜋2≤αβ≤𝜋2,∴-𝜋4≤α2𝜋4,-𝜋4β2≤𝜋4.因而两式相加得-𝜋2α+β2𝜋2.又∵-𝜋4β2≤𝜋4,∴-𝜋4≤-β2𝜋4,∴-𝜋2≤α-β2𝜋2.又∵αβ,∴α-β20,∴-𝜋2≤α-β20.即α+β2的取值范围为-𝜋2,𝜋2,α-β2的取值范围为-𝜋2,0.点评求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作差,而要转化为同向不等式后作和.探究四SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.若ab,则下列不等式一定成立的是()A.ba1B.ab0C.-a-bD.a-b0答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.已知a≥1,P=a+1−a,Q=a−a-1,则P与Q的大小关系为()A.P≥QB.PQC.P≤QD.PQ解析:P-Q=(a+1−a)-(a−a-1)=1a+1+a−1a+a-1=a-1-a+1(a+1+a)(a+a-1).∵a≥1,∴a-1a+1,即a-1−a+10.又∵a+1+a0,a+a-10,∴a-1-a+1(a+1+a)(a+a-1)0,即P-Q0,∴PQ.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.实数a,b,c,d满足下列三个条件:①dc;②a+b=c+d;③a+db+c.则将a,b,c,d按照从小到大的次序排列为.解析:本题条件较多,若两两比较,需6次,很麻烦.但如果能找到一个合理的程序,则可以减少解题步骤.③⇒d-b𝑐-a,②⇒c-a=b-d,⇒d-b𝑏-da-c𝑐-a⇒d𝑏,a𝑐,又由①,得acdb.答案:acdbSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.已知0a1,则a,1a,a2的大小关系是.解析:∵a-1a=(a+1)(a-1)a0,∴a1a.又∵a-a2=a(1-a)0,∴aa2.∴a2a1a.答案:a2a1aSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.已知ab0,比较ab与a+1b+1的大小.解:ab−a+1b+1=a(b+1)-b(a+1)b(b+1)=a-bb(b+1).∵ab0,∴a-b0,b(b+1)0.∴a-bb(b+1)0.∴aba+1b+1.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点