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-1-2.基本不等式一、选择题1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为()A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,∴(a+b)(a+c)=4-2,∵a,b,c0,∴(a+c)(a+b)≤,当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.答案:D2.下列结论中不正确的是()A.a0时,a+≥2B.≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥-2-解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B3.函数y=3x2+的最小值是()A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:y=3x2+=3x2+3+-3,∵3x2+30,0,∴y≥2-3=6-3,当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.答案:D4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是()A.10B.6C.4D.18解析:3x+3y≥2=2=2=18.答案:D5.若x,y0,且x+2y=3,则的最小值是()-3-A.2B.C.1+D.3+2解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.答案:C二、非选择题6.若a3,则+a的最小值为.解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.答案:77.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.答案:[9,+∞)8.函数y=loga(x+3)-1(a0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则的最小值为.解析:函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,-4-∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,则×(2m+n)==2++4·+2≥4+2=4+4=8,当且仅当m=,n=时取等号.答案:89.求函数y=(x≥0)的最小值.解:原式变形,得y==x+2++1.因为x≥0,所以x+20.所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数y=(x≥0)的最小值为7.10.若a0,b0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.-5-所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于46,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2m的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为am,高度为bm,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60m2,问当a,b各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)解:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=,k0,k为比例系数,依题意,即求a,b的值,使y最小.依题设,有4b+2ab+2a=60(a0,b0),所以b=(0a30).①于是y====≥-6-=.当a+2=时,等号成立,y取最小值.这时a=6,a=-10(舍去),将a=6代入①,得b=3.故当a为6,b为3时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、备选习题1.已知a2,试判断loga(a-1)·loga(a+1)与1的大小关系.解:∵a2,∴loga(a-1)0,loga(a+1)0,且loga(a-1)≠loga(a+1),∴loga(a-1)·loga(a+1)==1,∴当a2时,loga(a-1)·loga(a+1)1.2.一艘船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且pq.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2·,故所求函数是y=ks·(pv≤q),定义域是(p,q].-7-(2)y=ks·=ks=ks·≥ks=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=,即v=2p.①当v=2p∈(p,q],即2p≤q时ymin=f(2p)=4ksp.②当v=2p∉(p,q],即2pq.任取v1,v2∈(p,q],且v1v2,则y1-y2=ks=·[p2-(v1-p)(v2-p)],而p2-(v1-p)(v2-p)p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)0,∴y1-y20.故函数y在区间(p,q]内单调递减,此时y(v)≥y(q),即ymin=y(q)=ks.此时,船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小,当2p≤q时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2pq时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).-8-