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-1-3.三个正数的算术-几何平均不等式一、选择题1.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.3B.2C.12D.12解析:∵2x0,4y0,8z0,∴2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2,y=1,z=时,等号成立.答案:C2.设a,b∈R+,且a+b=3,则ab2的最大值为()A.2B.3C.4D.6解析:∵ab2=4a×≤4=4=4×13=4,当且仅当a==1时,等号成立.∴ab2的最大值为4.答案:C-2-3.若logxy=-2,则x+y的最小值是()A.B.C.D.解析:∵logxy=-2,∴x0且x≠1,y0,且y=x-2.∴x+y=x+x-2=≥3.当且仅当,即x=时等号成立.答案:A4.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.V≥πB.V≤πC.V≥πD.V≤π解析:如图,设圆柱的半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤π=π,当且仅当R=R=h=1时取等号.答案:B5.若ab0,则a+的最小值为()A.0B.1C.2D.3-3-解析:∵a+=(a-b)+b+≥3=3,当且仅当a=2,b=1时取等号,∴a+的最小值为3.答案:D二、非选择题6.设x0,则x2+≥.解析:∵x0,∴x2+=x2+≥3=3.当且仅当x2=,即x=1时,等号成立.∴x2+≥3.答案:37.已知0x4.5,则x2(9-2x)的最大值是.解析:由题可知x2(9-2x)=x·x·(9-2x).因为0x4.5,所以9-2x0.所以,即≤3.所以x2(9-2x)≤27.当且仅当x=9-2x,即x=3时,等号成立.因此,当x=3时,x2(9-2x)有最大值是27.答案:27-4-8.已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,对于下列不等式:①abc≤;②≥27;③a2+b2+c2≥;④ab+bc+ca≤.其中正确不等式的序号是.解析:∵a,b,c∈(0,+∞),∴1=a+b+c≥3,0abc≤≥27.从而①正确,②也正确,又1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2),∴a2+b2+c2≥,从而③正确,又2=2(a+b+c)2=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)+4ab+4bc+4ca≥2ab+2bc+2ca+4ab+4bc+4ca=6(ab+bc+ca),0ab+bc+ca≤,∴④正确.答案:①②③④9.已知a,b,c同号,且互不相等,a+b+c=1,求证9.解：证明:==3+.∵a,b,c同号,且a+b+c=1,∴a0,b0,c0.-5-∴均大于0.又a,b,c互不相等,∴3+3+6=9.∴9.10.有一块边长为36cm的正三角形铁皮,从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器,要使这个容器的容积最大,剪下的三个四边形面积之和等于多少?最大容积是多少?解:剪下的三个全等的四边形如图所示,设A1F1=xcm,则AF1=xcm,∴A1B1=F1F2=36-2x.∴V=(36-2x)2·x=(6-x)(6-x)·2x.∵0x6,∴6-x0.又(6-x)+(6-x)+2x=12,∴当6-x=2x,即x=2时,V有最大值,-6-这时V最大=·(4)3=864(cm3).∵=x·x=x2=12(cm2),∴三个四边形面积之和等于36cm2.