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-1-3.三个正数的算术-几何平均不等式首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握定理3.2.学会用定理3解决有关问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.三个正数的算术-几何平均不等式如果a,b,c∈R+,那么a+b+c3≥abc3,当且仅当a=b=c时,等号成立.2.n个正数a1,a2,…,an的算术-几何平均不等式对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a1+a2+…+ann≥a1a2…ann,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.思考三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件是什么?提示:“一正”:不论是三个数的或n个数的算术-几何平均不等式都要求是正数,否则不等式是不成立的.“二定”:包含两类求最值问题,一是已知n个正数的和为定值(即a1+a2+…+an为定值),求其积a1a2…an的最大值;二是已知积a1a2…an为定值,求其和a1+a2+…+an的最小值.“三相等”:取等号的条件是a1=a2=a3=…=an,不能只是其中一部分相等.重要不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样,前者是a,b∈R,后者是a,b,c∈R+.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一应用三个正数的算术-几何平均不等式求函数的最值从不等式的式子结构入手,拼凑出所需形式是解决此类问题的突破点.【例1】求函数y=x2(1-5x)0≤x≤15的最大值.思路分析:若将x2和(1-5x)视为两项,其和不为定值,应把x2拆成两项x·x,再配以适当的系数,从而使和为定值,就可用三个正数的算术-几何平均不等式来求解.解:y=x2(1-5x)=52x225-2x=52x·x25-2x.∵0≤x≤15,∴25-2x≥0.∴y≤52x+x+25-2x33=4675.当且仅当x=25-2x,即x=215时,ymax=4675.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四点评拼凑是解决这类题目的一个重要方法,但拼凑要合理,而且要符合适用条件.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二应用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式三个正数的算术几何平均不等式定理,是根据不等式的意义、性质和比较法证出的,因此,凡是可以利用该定理证明的不等式,一般都可以直接应用比较法证明,只是在具备条件时,直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.连续多次使用算术几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例2】设a,b,c∈R+,求证(a+b+c)1a+1b+1c≥9.思路分析:先观察要求证式子的结构,通过变形转化,然后用三个正数的算术几何平均不等式证明.证明:∵a,b,c∈R+,∴a+b+c≥3abc3,1a+1b+1c≥3(abc)-13,两个不等式相乘,有(a+b+c)1a+1b+1c≥3abc3×3(abc)-13.∴(a+b+c)1a+1b+1c≥9.当且仅当a=b=c时,等号成立.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【例3】已知0a1,求证1a+41-a≥9.证明:∵1a+41-a=1a+21-a+21-aa+1-a2+1-a2≥31a·21-a·21-a3·3a·1-a2·1-a23=9.当且仅当1a=21-a,即a=13时,等号成立.点评不等式的证明方法比较多,解题的关键是从式子的结构入手进行分析,多联想定理3的形式,以便用好它.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三应用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题解决此类问题时,应正确找到各变量之间的关系,并确定定值.应用三个正数或n个正数的算术-几何平均不等式时应特别注意“一正、二定、三相等”的限制条件.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【例4】如图所示,在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比,即E=k𝑠𝑖𝑛θr2,这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四思路分析:根据题设条件建立r与θ的关系式将它代入E=k𝑠𝑖𝑛θr2得到以θ为自变量,E为因变量的函数关系式用平均不等式求函数的最值获得问题的解解:∵r=2𝑐𝑜𝑠θ,∴E=k·𝑠𝑖𝑛θ𝑐𝑜𝑠2θ40θ𝜋2,∴E2=k216·sin2θ·cos4θ=k232·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤k232·2𝑠𝑖𝑛2θ+𝑐𝑜𝑠2θ+𝑐𝑜𝑠2θ33=k2108,当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,即tan2θ=12,tanθ=22,∴h=2tanθ=2,即h=2时,E最大.∴灯的高度h为2时,才能使桌子边缘处最亮.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:拼凑不合理【例5】已知x0,求函数y=x(1-x2)的最大值.错解:y=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)=x2(2-2x)(1+x)≤12x+2-2x+1+x33=12,即函数y=x(1-x2)的最大值为12.错因分析:取等号成立的条件x=2-2x=1+x无解,即无法取等号,所以这种拼凑不正确.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四正解:∵y=x(1-x2),∴y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2)·12.∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,∴y2≤122x2+1-x2+1-x233=427.当且仅当2x2=1-x2,即x=33时取等号成立.∴y≤239.∴y的最大值为239.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.若x0,则4x+9x2的最小值是()A.9B.3363C.13D.不存在解析:∵x0,∴4x+9x2=2x+2x+9x2≥3363,当且仅当2x=9x2,即x=12363时等号成立.答案:B1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.若正数x,y满足xy2=4,则x+2y的最小值为()A.6B.343C.643D.不存在解析:∵xy2=4,x0,y0,∴x=4y2.∴x+2y=4y2+2y=4y2+y+y≥34y2·y·y3=343.当且仅当x=y=43时,等号成立,此时x+2y的最小值为343.答案:B1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.已知a,b,c∈R+,则ab+bc+caba+cb+ac≥.解析:ab+bc+caba+cb+ac=3+bca2+acb2+abc2+a2bc+b2ca+c2ab≥3+6bca2·acb2·abc2·a2bc·b2ca·c2ab6=9.当且仅当a=b=c时,等号成立.答案:91234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.甲、乙两人同时从A地出发走向B地,甲先用13的时间以速度p行走,再用13的时间以速度q行走,最后用13的时间以速度r行走;乙在前13的路程用速度p行走,中间13的路程用速度q行走,最后13的路程用速度r行走(p≠q≠r),问甲、乙两人谁先到达B地,为什么?解:设A,B两地间的距离为s(s0),甲从A到B所用的时间为t1,乙从A到B所用的时间为t2,由题意,得s=p×t13+q×t13+r×t13,∴t1=3sp+q+r,t2=s3÷p+s3÷q+s3÷r=s31p+1q+1r.∴t2≥s1pqr3=3s3pqr33sp+q+r=t1.∵p≠q≠r,∴“=”不成立.∴t1t2,甲先到B地.1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点