搜索
-1-1.绝对值三角不等式一、选择题1.已知实数a,b满足ab0,则下列不等式成立的是()A.|a+b||a-b|B.|a+b||a-b|C.|a-b|||a|-|b||D.|a-b||a|+|b|解析:∵ab0,∴a,b异号,设a=2,b=-3,则|a+b|=|2-3|=1,|a-b|=|2-(-3)|=5,15,∴|a+b||a-b|.答案:B2.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.mnB.mnC.m=nD.m≤n解析:由绝对值不等式的性质,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.答案:D3.若对任意实数x,不等式|x+1|-|x-2|a恒成立,则a的取值范围是()A.(-∞,3)B.(-∞,3]C.(-∞,-3)D.(-∞,-3]解析:恒成立问题,往往转化为求最值问题,本题中a|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立,即a[|x+1|-|x-2|]min,也就转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值问题.∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3.∴[|x+1|-|x-2|]min=-3.∴a-3.-2-答案:C4.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析:∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.答案:C二、非选择题5.函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是.解析:y=|x+1|-|x-1|≤|x+1+1-x|=2,当且仅当x≥1时,等号成立.答案:26.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为.解析:y=|x-4|+|x-6|≥|x-4+6-x|=2,当且仅当4≤x≤6时,等号成立.答案:27.下列四个不等式:①logx10+lgx≥2(x1);②|a-b||a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是(把你认为正确的序号都填上).解析:∵x1,∴logx10+lgx=+lgx≥2,①正确;ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;-3-∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上①③④正确.答案:①③④8.已知p,q,x∈R,pq≥0,x≠0,则2.解析:当p,q至少有一个为0时,≥2;当pq0时,p,q同号,则px与同号,所以=|px|+≥2.故≥2.答案:≥9.已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a0,即|x-1|+|x-5|a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,-4-可知g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a0,∴ag(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a4,即a的取值范围是(-∞,4).10.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.解：证明:(1)∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2.g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.-5-11.设函数f(x)=+|x-a|(a0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)5,求a的取值范围.解:(1)由a0,有f(x)=+|x-a|≥+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.当a3时,f(3)=a+,由f(3)5得3a.当0a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)5得a≤3.综上,a的取值范围是.-6-