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-1-二绝对值不等式-2-1.绝对值三角不等式首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.理解绝对值的几何意义.2.掌握绝对值三角不等式.3.学会运用定理1、定理2解决有关问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.绝对值三角不等式(1)如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.思考1如何理解绝对值三角不等式?提示:绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系,我们可以类比得到另外一种形式:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab0,ab0,ab=0三种情况来确定的,所以这个定理本身就是一个分类讨论问题.“数”分正、负、零三种情况讨论,往往在所难免.因此,对绝对值的认识要有分类讨论的习惯.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.绝对值三角不等式的几何意义如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a,b换成向量a,b,则它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边.思考2如何理解绝对值三角不等式的几何意义?提示:用向量a,b替换实数a,b时,问题就从一维空间扩展到二维空间,当向量a,b不共线时,a+b,a,b构成三角形,有|a+b||a|+|b|.当向量a,b共线时,a,b同向(相当于ab≥0),|a+b|=|a|+|b|;a,b异向(相当于ab0)时,|a+b||a|+|b|,这些都利用了三角形的性质定理,如三角形的两边之和大于第三边等.这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和理解定理.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度”要仔细把握,如下面的式子:|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,我们常用的形式是|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,实质上|a+b|是不小于||a|-|b||的,|a|-|b|不一定是正数,当然这需要对绝对值不等式有更深的理解,从而使放缩的“尺度”更为准确.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一利用绝对值三角不等式证明不等式利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式,主要是通过适当地添项、拆项进行放缩,并且要注意不等号的传递性及等号成立的条件.【例1】设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证ax+bx22.思路分析:解答本题的关键是对题设条件的理解和运用,|a|,|b|和1这三个数中哪一个最大,如果两两比较大小,将十分复杂,而我们可以从题设中得到一个重要的信息:m≥|a|,m≥|b|,m≥1.从而利用这一信息来求解.证明:∵m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|m,∴|x|𝑚≥|a||x|𝑚≥|b||x|𝑚≥1⇒|x||a|,|x|2|b|.∴ax+bx2≤ax+bx2=|a||x|+|b||x|2|x||x|+|x|2|x|2=2.故原不等式成立.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评分析题目时,题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据,而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来,那么准确理解题目中的文字语言,适时准确地进行转化也就成了解题的关键,如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|,|b|和1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|,|m|≥|b|,m≥1”是证明本题的关键.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二利用绝对值不等式求函数的最值对于含有两个或两个以上绝对值的代数式,通常利用分段讨论的方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质解决相应问题.利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”,有时也能产生比较好的效果,但这需要准确地处理“数”的差或和,以达到所需要的结果.【例2】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.思路分析:若把x-3,x+1看作两个实数,则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式,因而可以联想到两个实数和差的绝对值与两个实数绝对值的和差之间的关系,进而可转化求解.另一种思维是:这种含有绝对值的形式的函数式表示的是分段函数,所以也可以视为是分段函数来求最值.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解法一:||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4,∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4.∴ymax=4,ymin=-4.解法二:把此函数看作分段函数.y=|x-3|-|x+1|=4,x-1,2-2x,-1≤x≤3,-4,x3.∴-4≤y≤4.∴ymax=4,ymin=-4.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三绝对值三角不等式的综合应用|a+b|≤|a|+|b|,等号成立的条件为ab≥0,应用时要注意与以前学过的知识的联系与区别.a-c的变形要记住:a-c=(a-b)+(b-c),从而不等式|a+b|≤|a|+|b|可以变形为|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.【例3】已知函数f(x)=lgx2-x+1x2+1.(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并给出证明;(2)若t∈R,求证:lg710≤ft-16-t+16≤lg1310.分析:(1)借助定义判别f(x)的单调性;(2)利用绝对值三角不等式解决.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(1)解:f(x)在[-1,1]上是减函数.证明:令u=x2-x+1x2+1=1-xx2+1.取-1≤x1x2≤1,则u1-u2=(x2-x1)(1-x1x2)(x12+1)(x22+1).∵|x1|≤1,|x2|≤1,x1x2,∴u1-u20,即u1u2.又在[-1,1]上u0,故lgu1lgu2,得f(x1)f(x2),∴f(x)在[-1,1]上是减函数.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)证明:∵t-16−t+16≤t-16-t+16=13,t+16−t-16≤t+16-t-16=13,∴-13≤t-16−t+16≤13.由(1)的结论,有f13≤ft-16-t+16≤f-13.而f13=lg710,f-13=lg1310,∴lg710≤ft-16-t+16≤lg1310.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评此类题目综合性强,不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件,还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件,这也是关键.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.若|x-a|h,|y-a|k,则下列不等式一定成立的是()A.|x-y|2hB.|x-y|2kC.|x-y|h+kD.|x-y||h-k|解析:|x-y|=|(x-a)+(a-y)|≤|x-a|+|a-y|h+k.答案:C12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.设ab0,下面四个不等式:①|a+b||a|;②|a+b||b|;③|a+b||a-b|;④|a+b||a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:∵ab0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.∴①④正确.答案:C12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.不等式|a+b||a|-|b|≥1成立的充要条件是.解析:|a+b||a|-|b|≥1⇔|a+b|-(|a|-|b|)|a|-|b|≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0.而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|0,即|a||b|.答案:|a||b|12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.解析:设f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1.即f(x)max=1,∴a≥1.答案:[1,+∞)12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点5.已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|1,求证|f(x)-f(a)|2(|a|+1).证明:∵|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1||x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|2(|a|+1).12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点