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-1-2.绝对值不等式的解法一、选择题1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x3}C.{x|2x≤3}D.{x|-1x3}解析:A={x|2≤x≤3},B={x|x2或x-1}.则A∩B={x|2x≤3}.答案:C2.0的解集为()A.B.C.D.{x|x∈R且x≠-3}解析:0⇔⇔答案:C3.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是增函数,则不等式loga|x+1|loga|x-3|的解集为()-2-A.{x|x-1}B.{x|x1}C.{x|x1且x≠-1}D.{x|x1}解析:因为a0,且a≠1,所以2-ax为减函数.又因为y=loga(2-ax)在[0,1]上是增函数,所以0a1,y=logax为减函数.所以|x+1||x-3|,且x+1≠0,x-3≠0.由|x+1||x-3|,得(x+1)2(x-3)2,即x2+2x+1x2-6x+9,解得x1.又x≠-1,且x≠3,所以原不等式的解集为{x|x1且x≠-1}.答案:C4.已知不等式|x+b|3的解集为{x|-4x2},则b的值为()A.1B.2C.-1D.-2解析:∵|x+b|3,∴-3x+b3.∴-3-bx3-b.又不等式的解集为{x|-4x2},∴∴b=1.答案:A二、非选择题5.设函数f(x)=|2x-1|+x+3,则f(-2)=;若f(x)≤5,则x的取值范围是.解析:f(-2)=|2×(-2)-1|+(-2)+3=6.|2x-1|+x+3≤5,即|2x-1|≤2-x,-3-当2x-1≥0,即x≥时,2x-1≤2-x,则x≤1,故≤x≤1.当2x-10,即x时,1-2x≤2-x,则x≥-1.故-1≤x.综上所述,x的取值范围是-1≤x≤1.答案:6[-1,1]6.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.解析:原不等式等价于-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.答案:[0,4]7.关于x的不等式1|2x+1|≤3的解集为.解析:原不等式可化为解不等式①,得-3≤2x+1≤3,∴-2≤x≤1.解不等式②,得2x+11或2x+1-1,∴x0或x-1.∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤1}∩{x|x0或x-1}={x|0x≤1或-2≤x-1}.答案:{x|0x≤1或-2≤x-1}8.解不等式|x2-2x|3.解:由|x2-2x|3,得-3x2-2x3,-4-∴∴∴不等式的解集为{x|-1x3}.9.解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|4.解:当x≤-时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x4,解得x-.当-x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x4,44,矛盾.当1x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-14,解得x1.又1x≤2,则1x≤2.当x2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-14,解得x.又x2,则x2.综上所述,原不等式的解集为.10.已知函数f(x)=|x-a|,其中a1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.-5-解:(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2x4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3.三、备选习题1.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-10(a∈R);(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.解:(1)不等式f(x)+a-10即为|x-2|+a-10.当a=1时,解集为{x|x≠2},即(-∞,2)∪(2,+∞);当a1时,解集为全体实数;当a1时,解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).-6-(2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|m恒成立.又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,当且仅当-3≤x≤2时等号成立,于是得m5,即m的取值范围是(-∞,5).