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-1-单元整合JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一不等式性质的应用利用不等式的性质判断不等式有关结论是否成立,进行数值或代数式大小的比较,这些常用到分类讨论思想.【例1】(1)当p,q为正数且p+q=1时,比较(px+qy)2与px2+qy2的大小;(2)a,b∈R+,且a≠b时,比较a3b2+a2b3与a5+b5的大小.分析:利用作差法比较两数的大小,并注意等号满足的条件.解:(1)(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+2pqxy+q2y2-px2-qy2=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.∵p+q=1,∴p-1=-q,q-1=-p.∴(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.∵p,q为正数,∴-pq(x-y)2≤0.∴(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时不等式中的等号成立.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习(2)a5+b5-(a3b2+a2b3)=a5-a3b2+b5-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a+b)(a-b)(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)=(a-b)2(a+b)a+b22+34b2.∵a,b∈R+,a≠b,∴(a-b)20,a+b0,a+b22+34b20,∴a5+b5-(a3b2+a2b3)0,∴a5+b5a3b2+a2b3.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三专题二平均不等式定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:如果a,b0,那么a+b2≥ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:如果a,b,c∈R+,那么a+b+c3≥abc3,当且仅当a=b=c时,等号成立.算术几何平均不等式:(1)如果a1,a2,…,an∈R+,n1且n∈N+,则a1+a2+…+ann叫做这n个正数的算术平均,a1a2…ann叫做这n个正数的几何平均;(2)推广到一般情形:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a1+a2+…+ann≥a1a2…ann,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.语言表述:n个正数的算术平均不小于它们的几何平均.专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题一专题二专题三(3)a+b2≥ab的几何解释:如图,以a+b为直径作圆,在直径AB上取一点C,过C作弦DD'⊥AB交AB于C,则CD2=CA·CB=ab,从而CD=ab,则半径a+b2≥CD=ab.专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例2】设a,b,c0,求证:1a3+1b3+1c3+abc≥23.证明:因为a,b,c0,由算术几何平均不等式可得1a3+1b3+1c3≥31a3·1b3·1c33,即1a3+1b3+1c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).所以1a3+1b3+1c3+abc≥3abc+abc.而3abc+abc≥23abc·abc=23(当且仅当a2b2c2=3时,等号成立),所以1a3+1b3+1c3+abc≥23(当且仅当a=b=c=36时,等号成立).专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题三利用平均不等式求最大(小)值重要的结论:已知x,y都是正实数,则:(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P;(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2.【例3】求函数y=2x2+3x(x0)的最小值.下列解法是否正确?为什么?解法一:y=2x2+3x=2x2+1x+2x≥32x2·1x·2x3=343,∴ymin=343.解法二:y=2x2+3x≥22x2·3x=26x,当且仅当2x2=3x,即x=1232时,ymin=26·1232=23123=23246.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习解:题目中两种解法均有错误.解法一错在等号不成立,即不存在x,使得2x2=1x=2x;解法二错在26x不是定值(常数).正确的解法是:y=2x2+3x=2x2+32x+32x≥32x2·32x·32x3=3923=32363,当且仅当2x2=32x,即x=632时,ymin=32363.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例4】制造容积为𝜋2立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米30元,用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元,要使用料成本最低,求此圆柱形桶的底面半径和高各为多少?解:设此圆柱形桶的底面半径为r米,高为h米,则底面积为πr2,侧面积为2πrh.设原料成本为y元,则y=30πr2+40πrh.∵桶的容积为𝜋2,∴πr2h=𝜋2.∴rh=12r.∴y=30πr2+20rπ=10π3r2+1r+1r≥10π×333,当且仅当3r2=1r=1r,即r=933时等号成立,此时,h=932.答:要使用料成本最低,圆柱形桶的底面半径为933米,高为932米.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题四含有绝对值的不等式的证明证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:(1)|a|+|b|≥|a+b|;(2)|a|-|b|≤|a+b|;(3)|a|·|b|=|a·b|;(4)|a||b|=ab(b≠0).【例5】已知f(x)=x2-2x+7,且|x-m|3,求证|f(x)-f(m)|6|m|+15.证明:|f(x)-f(m)|=|(x-m)(x+m-2)|=|x-m||x+m-2|3|x+m-2|≤3(|x|+|m|+2).又|x-m|3,∴-3+mx3+m.∴3(|x|+|m|+2)3(3+|m|+|m|+2)=6|m|+15.∴|f(x)-f(m)|6|m|+15.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习专题五含有绝对值的不等式的解法关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式.下面分别就这两类问题展开探讨.1.解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式),关键在于去掉绝对值符号,化成一般的不等式.主要的依据是绝对值的定义.在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值,即|x|=x,x0,0,x=0,-x,x0.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习2.含有绝对值的不等式有两种基本的类型.第一种类型:设a为正数.根据绝对值的定义,不等式|x|a的解集是{x|-axa},它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间(-a,a),如图所示.如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解.第二种类型:设a为正数.根据绝对值的定义,不等式|x|a的解集是{x|xa或x-a}.它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(-∞,-a),(a,+∞)的并集.如图所示.同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例6】设有关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)a.(1)当a=1时,解此不等式;(2)当a为何值时,此不等式的解集是R.解:(1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)1⇔|x+3|+|x-7|10⇔x≥7,2x-410,或-3𝑥7,1010,或x≤-3,4-2x10⇔x7或x-3.所以不等式的解集为{x|x-3或x7}.(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x-7)≤0,即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10.∴lg(|x+3|+|x-7|)≥1.要使lg(|x+3|+|x-7|)a的解集为R,只要a1.专题一专题二专题三专题四专题五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习