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-1-第三章不等式测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合A={x|x2-2x0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=()A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)解析:由已知可得A={x|0x2}.又∵B={x|1≤x≤4},∴A∩B={x|1≤x2}.答案:C2.若ab0,cd0,则一定有()A.B.C.D.解析:∵ab0,cd0,∴-c-d0,∴-ac-bd,即acbd.又∵dc0,∴,即,故选B.答案:B3.设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.10B.8C.3D.2解析:线性目标函数z=2x-y满足的可行域如图所示.-2-将直线l0:y=2x平行移动,当直线l0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,也就是z取最大值,此时zmax=2×5-2=8.答案:B4.若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=()A.5B.6C.7D.8解析:画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域).作直线l0:y=-2x,平移直线l0,由图形可知,当l0经过可行域内的点A(2,-1)时,z取最大值,即m=2×2+(-1)=3;当l0经过可行域内的点B(-1,-1)时,z取最小值,即n=2×(-1)+(-1)=-3,故m-n=3-(-3)=6.故选B.答案:B5.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不．唯一．．,则实数a的值为()A.或-1B.2或C.2或1D.2或-1解析:画出x,y约束条件限定的可行域,如图阴影区域所示,由z=y-ax得y=ax+z,当直线y=ax与直线2x-y+2=0或直线x+y-2=0平行时,符合题意,则a=2或-1.答案:D-3-6.若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为()A.2B.-2C.D.-解析:如图,作出所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k==-.故选D.答案:D7.不等式组的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3解析:画出可行域如图阴影部分所示.作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.答案:B-4-8.执行如图的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.3解析:先画出x,y满足的约束条件对应的可行域如图中阴影部分:移动直线l0:y=-2x.当直线经过点A(1,0)时,y=-2x+S中截距S最大,此时Smax=2×1+0=2.再与x≥0,y≥0,x+y≤1不成立时S=1进行比较,可得Smax=2.答案:C9.已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5B.4C.D.2解析:约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1).-5-所以2a+b=2,则b=2-2a,所以a2+b2=a2+(2-2a)2=5a2-8a+20=5+4,即当a=,b=时,a2+b2有最小值4.答案:B10.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最小值时,x+2y-z的最大值为()A.0B.C.2D.解析:由x2-3xy+4y2-z=0得x2+4y2-3xy=z,-3≥-3=-3=1,当且仅当x2=4y2即x=2y时,有最小值1,将x=2y代入原式得z=2y2,所以x+2y-z=2y+2y-2y2=-2y2+4y,当y=1时有最大值2.故选C.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.解析:画出可行域如图所示:-6-画直线l0:y=-2x,平移直线l0,当过A(k,k)时,使得z最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2.答案:-212.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元).解析:设池底长xm,宽ym,则xy=4,所以y=,则总造价为:f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80++20x=20+80,x∈(0,+∞)所以f(x)≥20×2+80=160,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.所以最低总造价是160元.答案:16013.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.解析:(1)l=6.05,则F=,由基本不等式v+≥2=22,得F≤=1900(辆/小时),故答案为1900.(2)l=5,F=,由基本不等式v+≥2=20,得F≤=2000(辆/小时),增加2000-1900=100(辆/小时),故答案为100.-7-答案:(1)1900(2)10014.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.解析:根据题意,得解得-m0.答案:15.当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.解析:作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,令z=ax+y,即y=-ax+z.作直线l0:y=-ax,平移l0,最优解可在A(1,0),B(2,1),C处取得.故由1≤z≤4恒成立,可得解得1≤a≤.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.解:(1)解法一:∵=0,-8-又=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2.即=(2,2),故||=2.解法二:∵=0,则()+()+()=0,∴)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.17.(6分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解:(1)∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cosB=,当且仅当a=c时等号成立.-9-∴cosB的最小值为.18.(6分)已知不等式mx2-2x-m+10.(1)是否存在m使对所有的实数x不等式恒成立?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由;(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.解:(1)不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图像全部在x轴下方.当m=0时,f(x)=1-2x,不满足f(x)0恒成立;当m≠0时,f(x)=mx2-2x-m+1,要使f(x)0恒成立,需则m无解.综上可知,不存在这样的m.(2)设f(m)=(x2-1)m+(1-2x),则f(m)为一个以m为自变量的一次函数,其图像是直线.由题意知当-2≤m≤2时,f(m)的图像为在x轴下方的线段,∴即解①得x或x,解②得x.由①②,得x∴x的取值范围为.19.(7分)甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧,需要更新,经测算,对于函数f(x),g(x)及任意的x≥0,当甲公司投入x万元改造设备时,若乙公司投入x万元改造设备费用小于f(x)万元,则乙有倒闭的风险,否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入x万元改造设备时,若甲公司投入改造设备费用小于g(x)万元,则甲有倒闭的风险,否则无倒闭的风险.(1)请解释f(0),g(0)的实际意义;(2)设f(x)=x+5,g(x)=x+10,甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金,问此时甲、乙两公司各投入多少万元?-10-解:(1)f(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避免倒闭,至少要投入f(0)万元的资金,g(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时,甲公司要避免倒闭,至少要投入g(0)万元的资金.(2)设甲公司投入的资金为x万元,乙公司投入的资金为y万元.依题意,甲、乙两公司均无倒闭风险,需改造设备资金为z=x+y,此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线l0:x+y=0,平移直线l0,在可行域中的点P处z=x+y取得最小值.由得P(25,30),故在双方均无倒闭的情况下,甲公司至少要投入25万元,乙公司至少要投入30万元,此时改造设备资金最少为55万元.