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-1-3.1.1倾斜角与斜率A组1.若直线l1的斜率大于0,直线l2的斜率小于0,直线l3的斜率不存在,并且l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则α1,α2,α3的大小关系是()A.α1α2α3B.α3α2α1C.α1α3α2D.α2α3α1解析:因为直线l1的斜率大于0,直线l2的斜率小于0,所以0°α190°,90°α2180°.又因为直线l3的斜率不存在,所以α3=90°,所以α1α3α2.故选C.答案:C2.经过两点A(2,1),B(1,m)的直线的倾斜角为锐角,则m的取值范围是()A.m1B.m-1C.-1m1D.m1或m-1解析:kAB==1-m.因为直线AB的倾斜角为锐角,所以kAB0,即1-m0,所以m1.答案:A3.在平面直角坐标系中,等边△ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的斜率之和为()A.-2B.0C.D.2解析:如图,易知kAB=,kAC=-,故kAB+kAC=0.答案:B4.设直线l与x轴的交点为P,且倾斜角为α,若将其绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线l的倾斜角为α+45°,则α的取值范围是()A.0°≤α90°B.0°≤α135°-2-C.0°≤α180°D.0°α135°解析:∵α,α+45°均为直线的倾斜角,∴∴0°≤α135°.又∵直线l与x轴相交,∴α≠0°.∴0°α135°.答案:D5.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则的值等于()A.B.-C.2D.-2解析:∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即,即ab=2a+2b,两边同除以ab得1=,即.答案:A6.已知点P(1-a,1+a)和Q(3,2a),若直线PQ的倾斜角为0°,则a=;若直线PQ的倾斜角为90°,则a=.答案:1-27.设P为x轴上的一点,A(-3,8),B(2,14),若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的两倍,则点P的坐标为.解析:设点P(x,0),则kPA=,kPB=,于是=2×,解得x=-5.答案:(-5,0)8.直线l1,l2均与y轴相交,且关于y轴对称,它们的倾斜角α1与α2的关系是.解析:如图,由l1,l2关于y轴对称,得α1=α3,∵α3+α2=180°,∴α1+α2=180°.答案:α1+α2=180°9.-3-如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率.解:l1的斜率k1=tanα1=tan30°=.∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,∴l2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=-.10.已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l过点P,且与线段MN相交.求:(1)直线l的倾斜角α的取值范围;(2)直线l的斜率k的取值范围.解:(1)kPN==-,kPM==1,所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图,所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°.(2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).B组1.已知直线l的倾斜角为β-15°,则下列结论中正确的是()A.0°≤β180°B.15°β180°C.15°≤β180°D.15°≤β195°解析:因为直线l的倾斜角为β-15°,所以0°≤β-15°180°,即15°≤β195°.答案:D2.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1k2k3B.k2k3k1C.k1k3k2D.k2k1k3-4-解析:设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,由图可知α3α290°α1,故相应斜率的关系为k10k3k2.答案:C3.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α180°时,倾斜角为α-135°解析:根据题意,画出图形,如图所示,因为0°≤α180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面.通过画图可知:当0°≤α135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α180°时,l1的倾斜角为α-135°,故选D.答案:D4.已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是.解析:M,N两点的横坐标相同,均为a,故直线MN与x轴垂直,从而直线MN的倾斜角是90°.答案:90°5.a为何值时,过点A(2a,3),B(2,-1)的直线的倾斜角是锐角?钝角?直角?分析:根据倾斜角与斜率的关系解决本题.若直线的倾斜角是锐角,则k0,若为钝角,则k0,若为直角,则斜率不存在.解:当过点A,B的直线的倾斜角是锐角时,kBA0,根据斜率公式得kBA=0,则a1;同理,当倾斜角为钝角时,kBA0,即0,则a1.当倾斜角为直角时,A,B两点的横坐标相等.即2a=2,故a=1.6.在下列叙述中:①若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率k=tanα;②若直线的斜率k=-1,则它的倾斜角为135°;-5-③若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的斜率不存在;④若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4);⑤若直线的斜率为,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点.所有正确命题的序号是.解析:当α=90°时,直线的斜率k不存在,故①错误;当倾斜角的正切值为-1时,倾斜角为135°,故②正确;点A,B的横坐标都为1,所以直线AB与x轴垂直,斜率不存在,故③正确;直线过点(1,2),斜率为1,又=1,所以该直线必过点(3,4),故④正确;斜率为的直线有无数条,所以该直线不一定过(1,1)与(5,4)两点,故⑤错误.答案:②③④7.已知A(-3,2),B(a,3),求直线AB的斜率.解:当a=-3时,直线AB的斜率不存在;当a≠-3时,直线AB的斜率k=.8.(1)已知直线l经过原点,且与以A(1,1),B(3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l的斜率范围.(2)已知直线l经过原点,且与以A(1,1),B(-3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l的斜率范围.(3)试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同,你能从中总结出什么规律来吗?解:(1)如图,当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时,即从OB旋转到OA的过程中斜率由负(kOB)到正(kOA)连续增大,因为kOB==-,kOA==1,所以直线l的斜率k的范围是-≤k≤1.(2)如图,当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时,即从OA旋转到OB的过程中斜率从kOA开始逐渐增加到正无穷大,这时l与y轴重合,当l再旋转下去时,斜率从负无穷逐渐增加到kOB.因为kOB=,kOA==1,所以直线l的斜率k的范围是k≤或k≥1.-6-(3)经比较可以发现:(1)中直线l的斜率介于kOA和kOB之间,而(2)中直线l的斜率处于kOA和kOB之外.一般地,如果直线l和线段AB相交,若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB不相交,则l斜率介于kOA和kOB(斜率均包含kOA和kOB)之间;若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB相交,则l斜率位于kOA和kOB(斜率均包含kOA和kOB)之外.