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-1-第三章直线与方程-2-3.1直线的倾斜角与斜率-3-3.1.1倾斜角与斜率首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.倾斜角定义当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角规定当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°记法α图示范围0°≤α180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12名师点拨理解倾斜角的概念时,要注意三个条件:(1)x轴正向;(2)直线向上的方向;(3)小于180°的非负角.做一做1如图所示,直线l的倾斜角为()A.45°B.135°C.0°D.不存在答案:BJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.斜率定义(α为直线的倾斜角)α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率α=90°直线斜率不存在记法k,即k=tanα范围R公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12名师点拨1.对斜率的理解(1)当直线的倾斜角是90°时,直线的斜率不存在,并不是直线不存在,此时,直线垂直于x轴;(2)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率.2.对斜率公式的理解(1)直线的斜率公式可以通过直线上任意两点的坐标表示,这比使用几何的方法先求倾斜角,再求斜率的方法简便.(2)直线的斜率与选取的点无关,即任选两点都可准确计算出斜率.(3)直线的斜率与直线上两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换,这就是说,如果分子是y2-y1,分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,分母必须是x1-x2,即斜率k=𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1.(4)当x1=x2时,斜率不存在.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123.倾斜角与斜率的对应关系图示倾斜角(范围)α=0°0°α90°α=90°90°α180°斜率(范围)k=0k0斜率不存在k0JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做2已知直线l的倾斜角α=60°,则其斜率k=.答案:3做一做3已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于()A.2B.1C.12D.不存在解析:k=-3-5-1-3=2.答案:AZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角可以看作是由x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小正角.所以,在不知道直线上的点的坐标求倾斜角时,往往借助于图形.结合图形求倾斜角时,应注意平面几何知识的应用.(2)直线的斜率与倾斜角一样,也反映了直线相对于x轴的倾斜程度,当倾斜角α满足0°≤α90°时,斜率k≥0,倾斜角越大,斜率越大;当90°α180°时,斜率k0,倾斜角越大,斜率也越大;当α=90°时,直线的斜率不存在,直线垂直于x轴.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为.解析:有两种情况:(1)如图①,直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°.(2)如图②,直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°.答案:60°或120°ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练1已知直线l1的倾斜角为α1,则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2为.解析:当α1=0°时,α2=0°;当0°α1180°时,α2=180°-α1.答案:0°或180°-α1ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二根据斜率公式求斜率(1)斜率表明直线相对于x轴的正方向的倾斜程度,可以用直线上任意两点的坐标来表示,比使用几何的方法求出倾斜角再求斜率的方法方便,今后我们求直线的斜率(前提是斜率存在)主要利用斜率公式;(2)如果y2=y1,x2≠x1,则直线与x轴平行或重合,k=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1=0;如果y2≠y1,x2=x1,则直线与x轴垂直,倾斜角等于90°,斜率k不存在.(3)当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时,可直接利用斜率公式求解.应用斜率公式时,应先判定两定点的横坐标是否相等,若相等,直线垂直x轴,斜率不存在;若不相等,再代入斜率公式求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,3+1).(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的取值范围.思路分析:(1)利用斜率公式求斜率,由斜率与倾斜角的关系求倾斜角;(2)结合图形,根据直线CD斜率的变化情况,确定出其范围.解:(1)由斜率公式得kAB=1-11-(-1)=0,kBC=3+1-12-1=3,kAC=3+1-12-(-1)=33.在区间[0°,180°)范围内,∵tan0°=0,∴直线AB的倾斜角为0°.∵tan60°=3,∴直线BC的倾斜角为60°.∵tan30°=33,∴直线AC的倾斜角为30°.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为33,3.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练2设点A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求实数m的值.解:依题意知直线AC的斜率存在,则m≠-1.由kAC=3kBC,得(-𝑚+3)-4𝑚-(-1)=3×(𝑚-1)-42-(-1),解得m=4.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三斜率与倾斜角的应用在平面直角坐标系中,确定一条直线位置的几何要素是一个定点及斜率(或倾斜角),所以,若有两点与同一点连线的斜率相等,这三点必在同一直线上;反之,若三点共线,则其中一点与另外两点连线的斜率(若斜率存在)相等.所以,可利用斜率解决三点共线问题.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3已知直线l的倾斜角α=45°,点P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是直线l上的三点,求x2,y1的值.思路分析:已知直线l的倾斜角,可以求出其斜率.又点P1,P2,P3均在直线l上,故任两点所在直线的斜率均等于直线l的斜率,从而可以解出x2,y1的值.解:∵α=45°,∴直线l的斜率k=tan45°=1.∵点P1,P2,P3都在直线l上,∴𝑘𝑃1𝑃2=𝑘𝑃2𝑃3=k.∴5-𝑦1𝑥2-2=1-53-𝑥2=1,解得x2=7,y1=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练3已知点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一条直线上,求实数m的值.解:kAB=𝑚-1-2-2=1-𝑚4,kAC=8-16-2=74.∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即1-𝑚4=74,∴m=-6.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四易错辨析易错点因忽略两点斜率公式的条件而致错典型例题4求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角α的取值范围.错解:由斜率公式可得k=3-2𝑚-1=1𝑚-1.①当m1时,k=1𝑚-10,所以直线的倾斜角α的取值范围是0°α90°.②当m1时,k=1𝑚-10,所以直线的倾斜角α的取值范围是90°α180°.错因分析:未考虑两点斜率公式运用的条件,从而忽略了m=1的情况.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三正解:当m=1时,直线斜率不存在,此时直线的倾斜角α=90°.当m≠1时,由斜率公式可得k=3-2𝑚-1=1𝑚-1.①当m1时,k=1𝑚-10,所以直线的倾斜角α的取值范围是0°α90°.②当m1时,k=1𝑚-10,所以直线的倾斜角α的取值范围是90°α180°.反思直线的斜率有不存在的特殊情况,所以,在求解涉及斜率的直线问题时,往往分直线斜率存在与不存在两种情况讨论.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是()A.0°≤α90°B.90°≤α180°C.90°α180°D.0°α180°答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.过点(-3,0)和点(-4,3)的直线的倾斜角是()A.30°B.150°C.60°D.120°解析:斜率k=3-0-4+3=-3,则倾斜角为120°.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.(2015河南洛阳高一期末)已知点A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则y的值为()A.-1B.12C.1D.32解析:由题意得kAB=kBC,即3-2-2-1=𝑦-34-(-2),解得y=1.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的倾斜角是45°,则y=.解析:直线的倾斜角为45°,则其斜率为k=tan45°=1.由斜率公式,得-3-𝑦2-4=1,解得y=-1.答案:-1SUITANGLIANXI随堂练习