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-1-3.2直线的方程-2-3.2.1直线的点斜式方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1231.直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123名师点拨(1)直线与方程一般地,如果直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,且满足该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程.(2)直线的点斜式方程①直线的点斜式方程是由直线上任意一点和直线的斜率确定的,建立点斜式的依据是过直线上一个定点与另外任意一点的直线是唯一的,它由过两点的直线的斜率公式𝑦-𝑦0𝑥-𝑥0=k推导而来,但应当注意𝑦-𝑦0𝑥-𝑥0=k与y-y0=k(x-x0)的区别是前者不包含点(x0,y0),后者包含点(x0,y0).点斜式的最大特点是由方程能直接看出其斜率及直线经过的一个点.②由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的,因此它只能表示斜率存在的直线,斜率不存在的直线不能用点斜式方程来表示,即点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线.过点P0(x0,y0)且垂直于x轴的直线可以表示为x=x0.③点斜式方程可以表示平行于x轴的直线,过点P0(x0,y0)且平行于x轴的直线的方程为y=y0.特别地,x轴的方程为y=0.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做1直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是()A.2B.-1C.3D.-3答案:CJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1232.直线l在坐标轴上的截距(1)直线在y轴上的截距:直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b.(2)直线在x轴上的截距:直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a.名师点拨(1)直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个数值,可正、可负、可为零.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.(2)直线在x轴上的截距与直线在x轴上的交点到原点的距离也有上述类似的关系.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1233.直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距by=kx+b斜率存在的直线JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123名师点拨(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例,所以直线的斜截式方程也不表示斜率不存在的直线.(2)直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0,y0)来表示的,同一条直线的点斜式方程有无数个;直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的,同一条直线的斜截式方程是唯一的.(3)直线的斜截式方程与一次函数的关系:斜截式方程与一次函数的表达式相同,但有区别:当k≠0时,y=kx+b即为一次函数;当k=0时,y=b不是一次函数;一次函数y=kx+b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程.做一做2直线l的斜截式方程是y=-2x+3,则直线l在y轴上的截距为.答案:3ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一求直线的点斜式方程求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.典型例题1求满足下列条件的直线方程:(1)经过点B(-1,4),倾斜角为135°;(2)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=13x倾斜角的2倍;(3)经过点P(5,-2),且与y轴平行;(4)过P(-2,3),Q(5,-4)两点;思路分析:先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)直线的斜率为k=tan135°=-1.由直线的点斜式方程得y-4=-(x+1),即x+y-3=0.(2)∵直线y=13x的斜率为13,∴倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°,其斜率为3.∴所求直线方程为y+3=3(x-2),即3x-y-23-3=0.(3)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5,故直线方程可记为x=5.(4)过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率kPQ=-4-35-(-2)=-77=-1.又∵直线过点P(-2,3),∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练1求出经过点P(3,4),且满足下列条件的直线方程,并画出图形.(1)斜率k=2;(2)与x轴平行;(3)与x轴垂直.解:(1)由于直线经过点P(3,4),斜率k=2,所以直线方程为y-4=2(x-3).如图①.(2)由于直线经过点P(3,4),且与x轴平行,即斜率k=0,所以直线方程为y=4.如图②.(3)由于直线经过点P(3,4),且与x轴垂直,所以直线方程为x=3.如图③.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二求直线的斜截式方程已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接写出直线的方程;已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与y轴上的截距.直线的斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多的直线方程的形式之一.典型例题2求满足下列条件的直线方程:(1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直;(2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同.思路分析:写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,所以所求直线斜率为-13.又直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=-13x-2,即x+3y+6=0.(2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2.由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.由直线方程的斜截式得y=-2x-2,即2x+y+2=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练2直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.解:由直线l1的方程可知它的斜率为2,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-2,在y轴上的截距为6.由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x+6.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三利用平行与垂直求方程中的参数已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,(1)若l1∥l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同,即b1≠b2;反之,k1=k2且b1≠b2时,l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2.(2)若l1⊥l2,则k1·k2=-1;反之,k1·k2=-1时,l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.若已知含参数的两条直线平行或垂直,求参数的值时,要注意讨论斜率是否存在,若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3当a为何值时,直线l1:y=3x+2a与直线l2:y=(a2+2a)x+2平行?思路分析:根据直线方程写出斜率,再由平行的条件求出a,还要检验求出的参数值是否使两直线重合.解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=3,k2=a2+2a.∵l1∥l2,∴a2+2a=3,即a=-3或a=1.当a=1时,l1与l2重合,∴当a=-3时,直线l1∥l2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练3当a为何值时,直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2(1)平行?(2)垂直?解:(1)要使l1∥l2,则需满足𝑎2-2=-1,2𝑎≠2,解得a=-1.故当a=-1时,直线l1与直线l2平行.(2)要使l1⊥l2,则需满足(a2-2)×(-1)=-1,∴a=±3.故当a=±3时,直线l1与直线l2垂直.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四易错辨析易错点误把“截距”当“距离”致错典型例题4已知斜率为-43的直线l,与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线l的方程.错解:设l:y=-43x+b,令x=0得y=b;令y=0得x=34b.由题意得12·b·34𝑏=6.∵b0,∴b=4,∴直线l的方程为y=-43x+4.错因分析:上述解法的错误主要在于“误把直线在两坐标轴上的截距当作距离”.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三正解:设l:y=-43x+b,令x=0得y=b;令y=0得x=34b.由题意得12·|b|·34𝑏=6,∴b2=16,∴b=±4.故直线l的方程为y=-43x±4.反思直线在两坐标轴上的截距是直线与坐标轴交点的横、纵坐标,而不是距离,因此本题在求得截距后,应对截距取绝对值,再建立面积表达式.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.过点P(2,-1),斜率为2的直线的点斜式方程是()A.y-1=2(x-2)B.y-1=2(x+2)C.y+1=2(x-2)D.y+1=2(x+2)答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.与直线y=3x+1垂直,且过点(2,-1)的直线的斜截式方程是()A.y=-3x+3B.y=-13x-13C.y=3x-3D.y=13x+13答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是.答案:(-1,2)SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.直线y=(a2-1)x+2与直线y=