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-1-3.2.2直线的两点式方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.掌握直线的两点式方程和截距式方程,以及各自的适用条件.2.会选择适当的方程形式求直线方程.3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1231.直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2y-y1y2-y1=x-x1x2-x1斜率存在且不为0名师点拨如果将直线方程的两点式转化为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),此时只要直线上已知两点不重合,都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线).JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做1过点A(5,6)和点B(-1,2)的直线的两点式方程是()A.𝑦-5𝑥-6=𝑦+1𝑥-2B.𝑦-62-6=𝑥-5-1-5C.2-6𝑦-6=-1-5𝑥-5D.𝑥-62-6=𝑦-5-1-5答案:BJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1232.直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x,y轴上的截距a,b且ab≠0xa+yb=1a≠0,b≠0名师点拨(1)截距式是两点式的特例,当已知直线上的两点分别是与两个坐标轴的交点(原点除外)时,由两点式可得直线方程的形式为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(ab≠0),即为截距式.用截距式可以很方便地画出直线.(2)直线方程的截距式在结构上的特点:直线方程的截距式为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,x项对应的分母是直线在x轴上的截距,y项对应的分母是直线在y轴上的截距,中间以“+”相连,等式的另一端是1,由方程可以直接读出直线在两个坐标轴上的截距.如𝑥3−𝑦4=1,𝑥3+𝑦4=-1等就不是直线的截距式方程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习123做一做2在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是()A.𝑥-3+𝑦4=1B.𝑥3+𝑦-4=1C.𝑥-3−𝑦4=1D.𝑥4+𝑦-3=1答案:AJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1233.中点坐标公式若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则𝑥=𝑥1+𝑥22,𝑦=𝑦1+𝑦22.此公式为线段P1P2的中点坐标公式.做一做3若已知点A(1,2)及AB的中点(2,3),则B点的坐标是.答案:(3,4)ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一直线的两点式方程若已知直线上的两点坐标,可直接用两点式方程写出直线的方程,但要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.典型例题1已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:(1)BC边所在的直线的方程;(2)BC边上中线所在的直线的方程.解:(1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得𝑦+31+3=𝑥-0-2-0,化简得2x+y+3=0.(2)由中点坐标公式,得BC的中点D的坐标为0-22,-3+12,即D(-1,-1).又直线AD过点A(-4,0),由两点式方程得𝑦+10+1=𝑥+1-4+1,化简得x+3y+4=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四温馨提示在没有特殊要求的条件下,以后求出的直线方程化为Ax+By+C=0的形式,且尽量满足:①A0;②A,B,C均是整数时,最大公约数为1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练1本例已知条件不变,求:(1)AC边所在的直线方程;(2)AC边上中线所在的直线方程.解:(1)由两点式方程得𝑦-01-0=𝑥-(-4)-2-(-4),化简得x-2y+4=0.(2)由中点坐标公式得AC边的中点E-3,12,中线BE所在直线的方程为𝑦-(-3)12-(-3)=𝑥-0-3-0,化简得7x+6y+18=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二直线的截距式方程在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两截距的方程,解得截距的值,从而确定方程.典型例题2已知直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点为P(4,1),求直线l的方程.思路分析:先由AB的中点坐标求出A,B两点坐标,再由截距式写出直线方程.解:由题意,可设A(a,0),B(0,b).由中点坐标公式,可得𝑎+02=4,0+𝑏2=1.解得𝑎=8,𝑏=2,故A(8,0),B(0,2).由直线方程的截距式得直线l的方程为𝑥8+𝑦2=1,即x+4y-8=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练2求过点A(3,4),且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.解:(1)当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且不为0时,可设直线l的方程为𝑥𝑎+𝑦-𝑎=1.又直线l过点A(3,4),所以3𝑎+4-𝑎=1,解得a=-1.所以直线l的方程为𝑥-1+𝑦1=1,即x-y+1=0.(2)当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且为0时,直线l的方程为y=43x,即4x-3y=0.综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三直线与坐标轴围成的面积涉及直线与坐标轴围成的面积问题,往往用直线在坐标轴上的截距解答.典型例题3直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l的方程.思路分析:可设出直线l的截距式方程,再根据直线l过点A(-2,3)及与两坐标轴围成的三角形面积为4,求出两截距,从而得方程.也可设出直线l方程的点斜式,再求出在两坐标轴上的截距,利用面积求出斜率,从而得方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解法一:由题意可知直线l的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(ab≠0),则有-2𝑎+3𝑏=1,12|𝑎𝑏|=4,解得𝑎=4,𝑏=2或𝑎=-43,𝑏=-6.∴直线l的方程为𝑥4+𝑦2=1或𝑥-43+𝑦-6=1,即x+2y-4=0或9x+2y+12=0.解法二:由题意得,设l的方程为y-3=k(x+2),令x=0,得y=2k+3;令y=0,得x=-3𝑘-2,由题意得12(2𝑘+3)-3𝑘-2=4,解得k1=-12,k2=-92.故所求直线方程为y-3=-12(x+2)或y-3=-92(x+2).即x+2y-4=0或9x+2y+12=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练3已知直线l经过点(1,6)和点(8,-8).(1)求直线l的两点式方程,并化为截距式方程;(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积.解:(1)因为直线l的两点式方程为𝑦-6-8-6=𝑥-18-1,所以𝑦-6-14=𝑥-17,即𝑦-6-2=x-1,所以y-6=-2x+2,即2x+y=8.所以𝑥4+𝑦8=1.故所求截距式方程为𝑥4+𝑦8=1.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)如图所示,直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB,且OA⊥OB,|OA|=4,|OB|=8,故S△AOB=12×|OA|×|OB|=12×4×8=16.故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四易错辨析易错点忽视截距为0的情形典型例题4已知直线l过点P(2,-1),且在两个坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.错解:由题意,设直线l的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1(a≠0),∵直线l过点(2,-1),∴2𝑎+-1𝑎=1,∴a=1,则直线l的方程为x+y-1=0.错因分析:错解忽略了直线l过原点时的情况.正解:设直线l在两个坐标轴上的截距都为a.若a=0,则直线l过原点,其方程为x+2y=0;若a≠0,则直线l的方程可设为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1,∵直线l过点(2,-1),∴2𝑎+-1𝑎=1,∴a=1,则直线l的方程为x+y-1=0.综上所述,直线l的方程为x+2y=0或x+y-1=0.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB中点,N为AC中点,则中位线MN所在直线方程为()A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=0解析:点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式方程得𝑦-24-2=𝑥-32-3,即2x+y-8=0.答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.经过点(0,-2),且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是()A.𝑥2+𝑦-2=1B.𝑥-2+𝑦2=1C.𝑥4+𝑦2=1D.𝑥4−𝑦2=1解析:因为直线经过点(0,-2),所以直线在y轴上的截距为-2.又因为两截距和为2,所以直线在x轴上的截距为4,所以直线方程为𝑥4+𝑦-2=1.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.经过点(2,1),在x轴上的截距是-2的直线方程是.解析:直线过点(2,1)和(-2,0),所以其方程为𝑦-01-0=𝑥+22+2,即x-4y+2=0.答案:x-4y+2=0SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形面积是.解析:直线在两坐标轴上的截距分别为1𝑎与1𝑏,所以直线与坐标轴围成的三角形面积为12|𝑎𝑏|.答案:12|𝑎𝑏|SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.求过点P(2,3),且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线方程.解法一:设直线在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为2b.若b=0,则直线过(0,0)与(2,3)点,则其方程为3x-2y=0.若b≠0,则设其方程为𝑥2𝑏+𝑦𝑏=1,又∵过点(2,3),∴22�