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-1-3.2.3直线的一般式方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.2.能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化.3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.直线的一般式方程关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.名师点拨(1)一般式方程适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.(2)一般式方程系数的几何意义:①当B≠0时,则-𝐴𝐵=k(斜率),-𝐶𝐵=b(y轴上的截距);②当B=0,A≠0时,则-𝐶𝐴=a(x轴上的截距),此时不存在斜率.(3)二元一次方程与直线的关系:任何一条直线的方程都可认为是关于x,y的二元一次方程;关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线方程.做一做1过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为.答案:2x-y+4=0JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.直线方程的一般式与其他形式的互化在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一般式方程,化为一般式方程以后,原方程的限制条件就消失了;其他形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:其中,当B=0时,方程化为x=-𝐶𝐴,直线垂直于x轴;当A=0时,方程化为y=-𝐶𝐵,直线垂直于y轴.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做2直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为;化为截距式为.答案:y=-23x-13𝑥-12+𝑦-13=1ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一求直线的一般式方程求直线方程时,可根据所给条件选择合适的形式将直线方程写出来,但在没有特殊要求下,一般将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项顺序排列.典型例题1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是3,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=3(x-5),化为一般式方程为3x-y+3-53=0.(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为4x-y-2=0.(3)由两点式方程可知,所求直线方程为𝑦-5-1-5=𝑥-(-1)2-(-1),化为一般式方程为2x+y-3=0.(4)由截距式方程可得,所求直线方程为𝑥-3+𝑦-1=1,化为一般式方程为x+3y+3=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练1根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式.(1)斜率是-12,经过点A(8,-2);(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是32,-3;(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).解:(1)由点斜式方程得y-(-2)=-12(x-8),即x+2y-4=0.(2)由斜截式方程得y-2=0.(3)由截距式方程得𝑥32+𝑦-3=1,即2x-y-3=0.(4)由两点式方程得𝑦-(-2)-4-(-2)=𝑥-35-3,即x+y-1=0.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二应用平行与垂直求直线方程过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法:(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程;(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2求与直线3x+4y+1=0平行,且过点(1,2)的直线l的方程.思路分析:可先求出斜率,用点斜式求解;也可根据平行(或垂直)的关系设出直线方程,再代入已知点求出系数.解:法一:设直线l的斜率为k,∵l与直线3x+4y+1=0平行,∴k=-34.又∵l经过点(1,2),可得所求直线方程为y-2=-34(x-1),即3x+4y-11=0.法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0.∵l经过点(1,2),∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11.∴所求直线方程为3x+4y-11=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练2求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.解:法一:设直线l的斜率为k,∵直线l与直线2x+y-10=0垂直,∴k·(-2)=-1,∴k=12.又∵l经过点A(2,1),∴所求直线l的方程为y-1=12(x-2),即x-2y=0.法二:设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0.∵直线l经过点A(2,1),∴2-2×1+m=0,∴m=0.∴所求直线l的方程为x-2y=0.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三由一般式方程判断两直线平行或垂直直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.(1)如何根据直线的一般式判断两直线平行?①当B1≠0,B2≠0时,k1=-𝐴1𝐵1,b1=-𝐶1𝐵1,k2=-𝐴2𝐵2,b2=-𝐶2𝐵2,当l1∥l2时,-𝐴1𝐵1=-𝐴2𝐵2且-𝐶1𝐵1≠-𝐶2𝐵2(否则,两直线重合),即A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0.②当B1=0,B2=0时,x1=-𝐶1𝐴1,x2=-𝐶2𝐴2.∵l1∥l2,∴-𝐶1𝐴1≠-𝐶2𝐴2,即A1C2-A2C1≠0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)如何根据直线方程的一般式判定两直线垂直?①当B1≠0,B2≠0时,k1=-𝐴1𝐵1,k2=-𝐴2𝐵2.∵l1⊥l2,∴-𝐴1𝐵1·-𝐴2𝐵2=-1,即A1A2+B1B2=0.②当B1=0,B2≠0时,l1⊥l2,则A2=0,∴A1A2+B1B2=0.③当B1≠0,B2=0时,l1⊥l2,则A1=0,∴A1A2+B1B2=0.综上所述:l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值.(2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.同理当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,∴m的值为2或-3.(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练3当a为何值时,直线(a-1)x-2y+4=0与x-ay-1=0,(1)平行?(2)垂直?解:当a=0或1时,两直线既不平行也不垂直;当a≠0且a≠1时,直线(a-1)x-2y+4=0的斜率为k1=-1+𝑎2,b1=2;直线x-ay-1=0的斜率为k2=1𝑎,b2=-1𝑎.(1)当两直线平行时,由k1=k2,b1≠b2,即1𝑎=-1+𝑎2,a≠-12,解得a=-1或a=2.所以当a=-1或2时,两直线平行.(2)当两直线垂直时,由k1·k2=-1,即1𝑎·-1+𝑎2=-1,解得a=13.所以当a=13时,两直线垂直.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四易错辨析易错点因转化条件不等价而致错典型例题4已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当l1∥l2时,求m的值.错解:由1×3-m(m-2)=0,得m=-1或3.错因分析:因存在斜率的两直线平行的等价条件为斜率相等且截距不等,所以上述解法忽略检验截距是否相等.正解:由1×3-m(m-2)=0得,m=-1或m=3.当m=-1时,l1:x-y+6=0,l2:3x-3y+2=0.两直线显然不重合,即l1∥l2.当m=3时,l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0.两直线重合.∴m的值为-1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三反思直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.则A1B2-A2B1=0⇔l1∥l2或l1与l2重合.所以,由A1B2-A2B1=0求出参数值后,需检验两直线是否重合.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.直线3x-2y+6=0的斜率和在y轴上的截距分别是()A.32,3B.-32,3C.3,6D.-3,-6答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.经过两点A(2,0)与B(0,-3)的直线的一般式方程是()A.3x-2y-1=0B.3x+2y+1=0C.3x-2y-6=0D.3x+2y+6=0答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为.解析:由点斜式方程得,所求直线方程为y-3=2(x-1),整理得2x-y+1=0.答案:2x-y+1=0SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.解析:∵两直线垂直,∴1×2-2m=0,m=1.答案: