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-1-3.3直线的交点坐标与距离公式-2-3.3.1~3.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.两条直线的交点已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将两条直线的方程联立,得方程组𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0,𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0.若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行.名师点拨直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系如表所示:方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做1在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为()A.x+3y=0B.y=-13x-12C.𝑥2+𝑦3=1D.y=-13x+4答案:CJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.两点间的距离公式已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则|P1P2|=(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2.名师点拨点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=(𝑥2-𝑥1)2+(𝑦2-𝑦1)2与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可以写成|P1P2|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2,利用此公式可以将有关的几何问题转化成代数问题进行研究.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做2已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|=.解析:|P1P2|=(4-2)2+(2+2)2=25.答案:25ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五探究一两条直线的交点问题涉及两直线交点的问题,通常是先求交点坐标,再进一步解决问题.典型例题1求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.思路分析:思路一(直接法),解方程组得点P的坐标,又直线l与l3垂直,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程;思路二(待定系数法),根据直线l与l3垂直,设出直线l的方程,再由点P的坐标求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五解法一:(直接法)解方程组𝑥-2𝑦+4=0,𝑥+𝑦-2=0,得P(0,2).因为直线l3的斜率为34,所以直线l的斜率为-43.所以直线l的方程为y=-43x+2,即4x+3y-6=0.解法二:(待定系数法)设直线l的方程为4x+3y+m=0.解方程组𝑥-2𝑦+4=0,𝑥+𝑦-2=0,得P(0,2).因为直线l过直线l1与l2的交点P(0,2),所以4×0+3×2+m=0,解得m=-6.所以直线l的方程为4x+3y-6=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五变式训练1将本例中的“垂直”改为“平行”,其他条件不变,求直线l的方程.解:法一(直接法):由本例可知P(0,2),直线l的斜率为34,故直线l的方程为y-2=34x,即3x-4y+8=0.法二(待定系数法):设直线l的方程为3x-4y+n=0.由3×0-4×2+n=0得n=8,∴直线l的方程为3x-4y+8=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五探究二过两直线交点的直线系方程过某点的直线有无数条,显然过两条直线交点的直线也有无数条,这些直线的方程与已知直线的方程有联系吗?实际上,经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五典型例题2(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程.(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.解方程组-𝑥-𝑦-1=0,𝑥+2=0,得直线所过定点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点P(1,0)在直线上,∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=15.∴所求方程为x+2y-2+15(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.解方程组-𝑥-𝑦-1=0,𝑥+2=0,得𝑥=-2,𝑦=1.所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五变式训练2直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为()A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0解析:(法一)解方程组2𝑥+3𝑦+8=0,𝑥-𝑦-1=0,得交点为(-1,-2).又直线l经过原点,由两点式得其方程为𝑦-0-2-0=𝑥-0-1-0,即2x-y=0.(法二)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.答案:BZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五探究三两点间距离公式的应用两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.典型例题3已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.思路分析:可求出三条边的长,据所求长度判断三角形的形状.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五解法一:∵|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=52,|AC|=(1+3)2+(7-1)2=52,|BC|=(1-3)2+(7+3)2=104,∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.∴△ABC是等腰直角三角形.解法二:∵kAC=7-11-(-3)=32,kAB=-3-13-(-3)=-23,∴kAC·kAB=-1.∴AC⊥AB.又|AC|=(1+3)2+(7-1)2=52,|AB|=(3+3)2+(-3-1)2=52,∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究五变式训练3本例条件不变,求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程.解:易知M(2,2),则|AM|=(-3-2)2+(1-2)2=26.直线AM的方程为𝑦-12-1=𝑥-(-3)2-(-3),即x-5y+8=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究五探究四坐标法的应用将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究五典型例题4已知Rt△ABC,∠B为直角,AB=a,BC=b,建立适当的坐标系,写出顶点A,B,C的坐标,并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.思路分析:取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系,再写出各顶点坐标,给出证明.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究五解:取边BA所在的直线为x轴,边BC所在的直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示,则三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,0),C(0,b).由中点坐标公式得斜边AC的中点M的坐标为𝑎2,𝑏2.∴|MA|=𝑎-𝑎22+0-𝑏22=12𝑎2+𝑏2,|MB|=0-𝑎22+0-𝑏22=12𝑎2+𝑏2,|MC|=0-𝑎22+𝑏-𝑏22=12𝑎2+𝑏2,∴|MA|=|MB|=|MC|.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究五方法总结利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练4已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.证明:如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c).∴|AC|=(𝑏-0)2+(𝑐-0)2=𝑏2+𝑐2,|BD|=(𝑎-𝑏-𝑎)2+(𝑐-0)2=𝑏2+𝑐2.故|AC|=|BD|.探究一探究二探究四探究三探究五ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练