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-1-第三讲柯西不等式与排序不等式-2-一二维形式的柯西不等式首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.认识柯西不等式的几种形式,理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.二维形式的柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)二维形式的柯西不等式的推论:(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a,b,c,d为非负实数);a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R);a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R).上述不等式中,当且仅当ad=bc时,等号成立.2.柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习3.二维形式的三角不等式(1)x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2(x1,y1,x2,y2∈R);(2)推论:(x1-x3)2+(y1-y3)2+(x2-x3)2+(y2-y3)2≥(x1-x2)2+(y1-y2)2(x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R).思考柯西不等式与基本不等式的区别是什么?提示:柯西不等式与基本不等式相比,柯西不等式中的字母、数较多,不容易记忆,这就要求认真理解代数形式、向量形式和三角形式的推导过程,从数与形两个方面来理解和记忆.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一柯西不等式等号成立的条件利用二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取“=”的条件是ad=bc.因此,在解题时,对照柯西不等式,必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a,b,c,d”的数或代数式,否则容易出错.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例1】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=|Ax0+By0+C|A2+B2.证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0.由柯西不等式,得(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2=[(Ax+By)-(Ax0+By0)]2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.当且仅当x-x0A=y-y0B时,取等号,|PQ|取得最小值|Ax0+By0+C|A2+B2.因此,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=|Ax0+By0+C|A2+B2.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究二利用二维形式的柯西不等式证明不等式利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式做适当的变形.这种变形技巧往往要求很高,必须善于分析题目的特征,根据题设条件,综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质,找到突破口.【例2】设a,b∈R+,且a+b=2.求证a22-a+b22-b≥2.思路分析:利用柯西不等式前,要观察不等式的结构特点,本题可以看作是求a22-a+b22-b的最小值,因而需出现(a2+b2)(c2+d2)的结构,把a22-a+b22-b视为其中的一个括号内的部分,另一部分可以是(2-a)+(2-b).探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:由柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)]a22-a+b22-b=[(2-a)2+(2-b)2]a2-a2+b2-b2≥2-a×a2-a+2-b×b2-b2=(a+b)2=4.则a22-a+b22-b≥4(2-a)+(2-b)=2.故原不等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三利用二维形式的柯西不等式求最值利用柯西不等式求最值,关键在于构造两组数,向着柯西不等式的形式转化.【例3】已知x,y,a,b∈R+,且ax+by=1,求x+y的最小值.解:构造两组实数x,y;ax,by.∵x,y,a,b∈R+,ax+by=1,∴x+y=[(x)2+(y)2]·ax2+by2≥(a+b)2.当且仅当x·by=y·ax,即xy=ab时,等号成立.∴(x+y)min=(a+b)2.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.已知a,b0,且a+b=1,则(4a+1+4b+1)2的最大值是()A.26B.6C.6D.12解析:(4a+1+4b+1)2=(1×4a+1+1×4b+1)2≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2[4(a+b)+2]=2×(4×1+2)=12,当且仅当4b+1=4a+1,即a=b=12时等号成立.答案:D12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.已知4x+9y=2,x,y0,则x+y的最小值是()A.252B.254C.52D.5解析:由4x+9y=2,可得x+y=[(x)2+(y)2]2x2+3y22≥12x·2x+y·3y2=12(2+3)2=252.当且仅当x·3y=y·2x,即x=5,y=152时等号成立.答案:A12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.设a=(-2,1,2),|b|=6,则a·b的最小值为,此时b=.解析:根据柯西不等式的向量形式,有|a·b|≤|a|·|b|,∴|a·b|≤(-2)2+12+22×6=18,当且仅当存在实数k,使a=kb时,等号成立.∴-18≤a·b≤18.∴a·b的最小值为-18,此时b=-2a=(4,-2,-4).答案:-18(4,-2,-4)12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=ab+cd,Q=ma+ncbm+dn,则P与Q的大小关系是.解析:P=am×bm+nc×dn≤(am)2+(nc)2×bm2+dn2=am+ncbm+dn=Q.答案:P≤Q12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点5.求函数y=x2-2x+3+x2-6x+14的最小值.解:y=(x-1)2+2+(3-x)2+5,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)2+2][(3-x)2+5]≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+10]=[(x-1)+(3-x)]2+(2+5)2=11+210.当且仅当5(x-1)=2(3-x),即x=32+52+5时,等号成立.此时ymin=11+210=(10+1)2=10+1.12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点