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-1-二一般形式的柯西不等式首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3),或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n),或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考一般形式的柯西不等式如何应用?提示:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或解决一些求最值问题,应用时,常常需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点,我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一三维形式的柯西不等式无论是用柯西不等式还是其他重要不等式来证明不等式,构造出所需要的某种结构是证题的难点,因此,对柯西不等式或其他重要不等式,要熟记公式的特点,能灵活变形,才能灵活应用.【例1】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:2a+b+2b+c+2c+a≥9.思路分析:9=(1+1+1)2,2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)的巧拆,给我们运用柯西不等式提供了条件.证明:左边=[2(a+b+c)]1a+b+1b+c+1c+a=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]1a+b+1b+c+1c+a≥(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=13时,等号成立,所以,原不等式成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二多维形式的柯西不等式对使用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题时,往往不能直接应用,需对数学式的形式进行转化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构才能应用,经常利用数字“1”,对“1”进行灵活的变形应用,会起到事半功倍的效果.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例2】若ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),求证(a1b1+…+anbn)a1b1+…+anbn≥(a1+…+an)2.证明:左边=[(a1b1)2+…+(anbn)2]a1b12+…+anbn2≥a1b1a1b1+…+anbnanbn2=(a1+…+an)2=右边,故原不等式成立.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【例3】设x1,x2,…,xn∈R+,求证x12x2+x22x3+…+xn-12xn+xn2x1≥x1+x2+…+xn.证明:∵x1,x2,…,xn∈R+,∴(x2+x3+x4+…+xn+x1)x12x2+x22x3+x32x4+…+xn2x1≥(x1+x2+…+xn)2.∴x12x2+x22x3+…+xn-12xn+xn2x1≥x1+x2+…+xn.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究三利用柯西不等式求最值解决此类问题时,根据所求最值的目标函数的形式,对已知条件进行配凑,向柯西不等式形式转化.【例4】设2x+3y+5z=29,求函数u=2x+1+3y+4+5z+6的最大值.思路分析:将已知等式变形,直接应用柯西不等式.解:由柯西不等式,得120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]≥(1×2x+1+1×3y+4+1×5z+6)2,故2x+1+3y+4+5z+6≤230.当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即x=376,y=289,z=2215时,等号成立,此时umax=230.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:忽视取得最值时等号成立的条件【例5】已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+cz≤t,求t的最小值.错解:求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.ax≤a2+x22,by≤b2+y22,cz≤c2+z22,三式相加得:ax+by+cz≤a2+x22+b2+y22+c2+z22=5,故u=ax+by+cz的最大值为5,从而t的最小值为5.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四错因分析:由基本不等式得到u=ax+by+cz≤5是正确的,但这只是能说明u的最大值有小于或等于5两种可能,并不能得出u的最大值一定是5.事实上,如果u的最大值为5,错解中的三个不等式应同时取“=”,于是a=x,b=y,c=z,从而得出a2+b2+c2=x2+y2+z2,即t=5,这是不可能的.产生错解的原因是对最值的概念及基本不等式中的等号成立的条件掌握不牢.正解:求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.由柯西不等式得:u2=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=1×9=9,u=ax+by+cz≤3,当且仅当ax=by=cz时,等号成立,此时u=ax+by+cz的最大值为3,从而t的最小值为3.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.已知x,y,z0,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是()A.1B.13C.12D.3解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)·(12+12+12)≥(x+y+z)2=1.∴x2+y2+z2≥13,当且仅当x=y=z=13时,等号成立,即所求最小值为13.答案:B12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析:∵(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a12+a22+…+an2)×(x12+x22+…+xn2)=1×1=1,∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.答案:A12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.解析:由柯西不等式得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.答案:1212345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.已知a,b,c0,且a+b+c=1,则4a+1+4b+1+4c+1的最大值为.解析:由柯西不等式,得(4a+1+4b+1+4c+1)2=(1×4a+1+1×4b+1+1×4c+1)2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21.当且仅当a=b=c=13时,取等号.故4a+1+4b+1+4c+1的最大值为21.答案:2112345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点5.已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,x12+x22+x32+x42=12,求证:0≤xi≤3(i=1,2,3,4).证明:由柯西不等式,得(x2+x3+x4)2≤(1+1+1)(x22+x32+x42),由题设条件,得x2+x3+x4=6-x1,x22+x32+x42=12-x12,代入上式,得(6-x1)2≤3(12-x12),∴36-12x1+x12≤36-3x12,∴4x12-12x1≤0,∴0≤x1≤3,同理可证0≤xi≤3(i=2,3,4).综上所述,0≤xi≤3(i=1,2,3,4).12345SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点