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-1-三排序不等式首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握排序不等式的推导和证明过程.2.会利用排序不等式解决简单的不等式问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.基本概念设a1a2a3…an,b1b2b3…bn是两组实数,c1,c2,c3,…,cn是数组b1,b2,…,bn的任何一个排列,则S1=a1bn+a2bn-1+…+anb1叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的反序和;S2=a1b1+a2b2+…+anbn叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的顺序和;S=a1c1+a2c2+…+ancn叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的乱序和.2.排序原理或排序不等式设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考你对排序不等式的证明是怎样理解的?提示:在排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验——证明”的思想方法.这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法,所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解.对于出现的“逐步调整比较法”,要引起注意,研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时,这种方法对理解相关问题是比较简单易懂的.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一构造数组利用排序不等式证明要利用排序不等式解答相关问题,必须构造出相应的数组,并且要排列出大小顺序,因此比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础.【例1】设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,求证:12+23+…+n-1n≤a1a2+a2a3+…+an-1an.思路分析:构造出数组,利用排序原理证明.探究一探究二ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二证明:设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,且b1b2…bn-1;c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c1c2…cn-1,则1c11c2…1cn-1,且b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n.利用排序不等式,有a1a2+a2a3+…+an-1an≥b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1≥12+23+…+n-1n.故原不等式成立.点评构造数组时,自己可根据题目的要求与需要,来限定数组间的一些联系,对于一些大小顺序,在不影响一般性的前提下,也可以设定.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究二需要对不等式中所给字母的大小顺序作出假设的情况在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,要限定一种大小关系.【例2】设a,b,c为正数,求证:a2+b22c+b2+c22a+c2+a22b≤a3bc+b3ca+c3ab.分析:解答本题时不妨先设定0a≤b≤c,再利用排序不等式加以证明.探究一探究二ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二证明:不妨设0a≤b≤c,则a3≤b3≤c3,01bc≤1ca≤1ab,由排序不等式:乱序和≤顺序和,得a3·1ca+b3·1ab+c3·1bc≤a3·1bc+b3·1ca+c3·1ab,①a3·1ab+b3·1bc+c3·1ca≤a3·1bc+b3·1ca+c3·1ab.②将①②两式相加,得a2+b2c+b2+c2a+c2+a2b≤2a3bc+b3ca+c3ab,将不等式两边除以2,得a2+b22c+b2+c22a+c2+a22b≤a3bc+b3ca+c3ab.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1.设a1,a2,a3为正数,E=a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2,F=a1+a2+a3,则E,F的大小关系是()A.EFB.E≥FC.E=FD.E≤F解析:不妨设a1≥a2≥a30,于是1a1≤1a2≤1a3,a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式:顺序和≥乱序和,得a1a2a3+a3a1a2+a2a3a1≥1a2·a2a3+1a3·a3a1+1a1·a1a2=a3+a1+a2,即a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2≥a1+a2+a3.∴E≥F.答案:B1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点2.已知a,b,c都是正数,则ab+c+bc+a+ca+b32.解析:设a≥b≥c≥0,则1b+c≥1c+a≥1a+b,由排序原理,知ab+c+bc+a+ca+b≥bb+c+cc+a+ab+a,①ab+c+bc+a+ca+b≥cb+c+ac+a+ba+b,②由①+②,得ab+c+bc+a+ca+b≥32.答案:≥1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点3.某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件和2件.现在选择商店中单价分别为3元,2元和1元的礼品,则至少要花元,最多要花元.答案:19251234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.已知a,b,c为正数,求证b2c2+c2a2+a2b2a+b+c≥abc.证明:不妨设a≥b≥c,则1a≤1b≤1c,bc≤ca≤ab,由排序原理,得bca+cab+abc≥bcc+caa+abb,即b2c2+c2a2+a2b2abc≥a+b+c.∵a,b,c为正数,∴abc0,a+b+c0,∴b2c2+c2a2+a2b2a+b+c≥abc.1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点