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-1-第二章参数方程-2-§1参数方程的概念首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.理解参数方程的概念,了解参数方程的几何意义和物理意义.2.能够根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程.3.理解参数方程与普通方程之间的联系和区别,掌握它们的互化法则.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习参数方程的概念一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡),①并且对于t取的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y)都在这条曲线上,那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫作参变数,简称参数.相对于参数方程,我们把直接用坐标(x,y)表示的曲线方程f(x,y)=0叫作曲线的普通方程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习温馨提示对参数方程,应从以下六个方面加以理解:(1)参数方程的形式:方程组中有三个变数,其中x和y表示点的坐标,第三个变数t叫作参变数,而且x与y分别是t的函数,由于横、纵坐标都是变数t的函数,因此给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因而能得到唯一的点.(2)参数的取值范围:在写曲线的参数方程时,必须指明参数的取值范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程可以有不同的形式.(3)参数方程与普通方程的统一性:普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变数x与y之间的直接联系,而参数方程是通过参变数反映坐标变数x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习(4)参数的作用:参数作为间接地联系横、纵坐标x,y之间的关系的中间变数,起到了桥梁的作用.(5)参数的意义:如果参数选择适当,参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,可以给问题的解决带来方便,即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数.写参数方程时必须注明哪个字母是参数.(6)参数方程与含有参数的方程是两个不同的概念.如方程x2+y2+(t-1)x+3ty+2=0(t为参数)是含有参数的方程,它表示曲线系,而不是参数方程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考曲线的参数方程有什么特点?提示:曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x,y间的间接联系.在具体问题中,参数可能有相应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.在具体问题中,如果要求相应曲线的参数方程,首先就要注意参数的选取.一般来说,选择参数时应注意考虑以下两点:JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一是曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来;二是参数与x,y之间的相互关系比较明显,容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑.可以是时间,也可以是线段的长度、方位角、旋转角,动直线的斜率、倾斜角、截距,动点的坐标等.有时为了便于列出方程,也可以选两个以上的参数,再设法消去其中的参数得到普通方程,或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦,所以参数的个数一般应尽量少.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究一求曲线的参数方程求曲线的参数方程的步骤如下:(1)建立合理的坐标系.坐标系选取是否合理,对于求参数方程的繁简程度有着决定性的作用,同时,建立方式不同,所得参数方程的形式也不同.(2)设出点的坐标,并选取合适的参数.由于参数方程是关于曲线上点的坐标的方程,所以必须设出曲线上任意一点的坐标.参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列出方程;二是x,y的值可以由参数唯一确定.例如,在研究运动问题时,经常选时间作为参数;在研究旋转问题时,通常选择旋转角作为参数.此外,直线的倾斜角、直线的斜率、直线的截距等也常作参数.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二(3)列出点的横、纵坐标关于参数的方程.求曲线方程实质上就是建立关于曲线上任意一点的坐标的方程,其本质就是列方程.所以,要在题目条件中找到等量关系(有时是某些定义、定理或公式等),然后利用坐标和参数将等量关系表示出来,就得到了方程.(4)求参数的取值范围,并写出曲线的参数方程.由于求曲线的方程需注意两个方面:①曲线上任一点的坐标都是这个方程的解;②同时以这个方程的解作为坐标的点都在曲线上.所以,必须通过参数的取值范围(实质上是函数的定义域)达到曲线上点的坐标和方程的解一一对应的目的.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二【典型例题1】经过原点作圆x2-2ax+y2=0(a0)的弦,求这些弦的中点的轨迹的参数方程.思路分析:根据题目的条件,选取恰当的参数,联系动点M(x,y)的坐标,进而写出曲线的参数方程.解:如图,设OQ是经过原点的任意一条弦,OQ的中点是M(x,y),设弦OQ和x轴的夹角为θ,取θ作为参数,已知圆的圆心是O'(a,0),连接O'M,那么O'M⊥OQ,过点M作MM'⊥OO',那么|OM|=acosθ,∴𝑥=|𝑂𝑀'|=|𝑂𝑀|cos𝜃=𝑎cos2θ,𝑦=|𝑀𝑀'|=|𝑂𝑀|sin𝜃=𝑎cos𝜃sin𝜃𝜃为参数,-π2θπ2.这就是所求轨迹的参数方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二点评引入参数θ后,根据圆的中点弦的性质结合变量x,y的几何意义,用半径a和参数θ表示坐标x,y,即可得出曲线的参数方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二【典型例题2】(2014辽宁大连二模)已知线段AB的长度为a,点P在其上运动,在AB的同侧分别以AP,PB为边作正三角形AMP与BPN,求线段MN的中点Q的轨迹方程.思路分析:以点A为坐标原点,线段AB所在的直线为x轴,建立坐标系.点Q由点M,N来确定,而点M,N由线段AP来确定,因此,只要AP的长度确定,点M,N就被唯一确定,同时也就确定了点Q.故可选AP的长为参数.通过正三角形中的计算,用参数可表示出点M,N的坐标,并进一步利用中点坐标公式表示出点Q的坐标,参数方程就建立了,最后由点P在线段AB上,求出参数的取值范围.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二解:建立如图所示的平面直角坐标系,设AP=t(0ta),则B(a,0),P(t,0),M𝑡2,32t,N𝑎+𝑡2,3(a-t)2.因为点Q是线段MN的中点,所以𝑥=12t+14a,𝑦=34a(t为参数,0ta).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究二参数方程的应用利用参数方程求解有关范围问题,往往可以减少变量的个数,从而降低问题的难度,最后借助于函数、不等式等知识求解.【典型例题3】已知点P(x,y)是曲线C:𝑥=3+cos𝜃,𝑦=2+3sin𝜃上的任意一点,求3x+y的取值范围.思路分析:由曲线C的参数方程,将3x+y化为关于θ的三角函数求解.解:设P(3+cosθ,2+3sinθ),则3x+y=3(3+cosθ)+(2+3sinθ)=11+3cosθ+3sinθ=11+23sin𝜃+π3,故3x+y的最大值为11+23,最小值为11-23,取值范围是[11-23,11+23].SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.下列的点在曲线𝑥=sin2𝜃,𝑦=cos𝜃+sin𝜃(θ为参数)上的是()A.12,-2B.-34,12C.(-2,3)D.(1,3)答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.若点M(x,y)在曲线𝑥=1+3cos𝜃,𝑦=1+3sin𝜃(θ为参数)上,则x2+y2的最大值与它的最小值的差为()A.62B.122C.2D.32解析:∵x2+y2=(1+3cosθ)2+(1+3sinθ)2=11+62sin𝜃+π4,∴x2+y2的最大值为11+62,最小值为11-62.∴最大值与最小值的差为11+62-(11-62)=122.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.动点M做匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为3m/s和4m/s,直角坐标系的长度单位是1m,点M的起始位置在点M0(2,1)处,则点M的轨迹的参数方程是()A.𝑥=3𝑡,𝑦=4𝑡(t为参数,t≥0)B.𝑥=2+3𝑡,𝑦=1+4𝑡(t为参数,t≥0)C.𝑥=2𝑡,𝑦=𝑡(t为参数,t≥0)D.𝑥=3+2𝑡,𝑦=4+𝑡(t为参数,t≥0)解析:设在时刻t时,点M的坐标为M(x,y),则𝑥=2+3𝑡,𝑦=1+4𝑡(t为参数,t≥0).答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.边长为a的等边△ABC的两个端点A,B分别在x轴、y轴正半轴上移动,顶点C和原点O分别在直线AB两侧,记∠CAx=α,则顶点C的轨迹的参数方程是.解析:如图,过C作CD⊥x轴于点D,设点C的坐标为(x,y),则由𝑥=𝑂𝐴+𝐴𝐷,𝑦=𝐷𝐶,得𝑥=𝑎cos2π3-α+acos𝛼=𝑎cos𝛼-π3,𝑦=𝑎sin𝛼,即为顶点C的轨迹的参数方程.答案:𝑥=𝑎cos𝛼-π3,𝑦=𝑎sin𝛼(α为参数)SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆做匀角速度运动,角速度为π60rad/s,试以时间t(单位:s)为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.解:设动点M(x,y)对应的时刻为t.由图可知,|OM|=2,又θ=π60t,则𝑥=2cos𝜃,𝑦=2sin𝜃(θ为参数).故参数方程为𝑥=2cosπ60t,𝑦=2sinπ60t(t为参数).SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点