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-1-§2直线和圆锥曲线的参数方程-2-2.1直线的参数方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握直线参数方程的标准形式,理解参数t的几何意义.2.能依据直线的几何性质,写出它的两种形式的参数方程,体会参数的几何意义.3.能利用直线的参数方程解决简单的实际问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习直线的参数方程条件直线的参数方程参数的几何意义P(x0,y0),倾斜角αx=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数)M(x,y)为直线上的任意一点,参数t的几何意义是从点P到M的位移,可以用有向线段PM的数量来表示Q(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1≠x2)x=x1+λx21+λ,y=y1+λy21+λ(λ为参数,λ≠-1)M(x,y)为直线上的任意一点,参数λ的几何意义是动点M分有向线段QP的数量比QMMP温馨提示当λ0时,M为内分点;当λ0且λ≠-1时,M为外分点;当λ=0时,点M与Q重合.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考1怎样由直线的参数方程求倾斜角?提示:如果直线的参数方程是标准形式,由方程直接可得出倾斜角,即方程中的角α,例如,直线的参数方程为𝑥=1+𝑡cos15°,𝑦=2+𝑡sin15°(t为参数),则直线的倾斜角为15°.如果直线的参数方程不是标准形式,例如直线𝑥=1+𝑡sin15°,𝑦=1+𝑡cos15°(t为参数),则其倾斜角就不能直接由参数方程得出了.有两种方法可得出倾斜角:第一种方法:把参数方程改写为𝑥-1=𝑡sin15°,𝑦-1=𝑡cos15°,消去t,有y-1=(x-1)·1tan15°,即y-1=(x-1)tan75°,故倾斜角为75°.第二种方法:把原方程化为标准形式,即𝑥=1+𝑡cos75°,𝑦=1+𝑡sin75°,可以看出直线的倾斜角为75°.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考2直线的一般参数方程化为标准参数方程的方法是什么?提示:给出直线的非标准式参数方程𝑥=𝑥0+at,𝑦=𝑦0+bt(t为参数),根据标准式的特点,参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值,根据三角函数的性质,知其平方和为1,所以可以化为𝑥=𝑥0+𝑎𝑎2+𝑏2×𝑎2+𝑏2t,𝑦=𝑦0+𝑏𝑎2+𝑏2×𝑎2+𝑏2t(t为参数),再进一步令cosα=𝑎𝑎2+𝑏2,sinα=𝑏𝑎2+𝑏2,根据直线倾斜角的范围让α在[0,π)范围内取值,并且把𝑎2+𝑏2t看成相应的参数t',即得标准式的参数方程𝑥=𝑥0+t'cos𝛼,𝑦=𝑦0+t'sin𝛼(t'为参数).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一直线的参数方程与参数的几何意义对于一般的参数方程,其中的参数可能不具有一定的几何意义,但是直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点M0(x0,y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程都可以写成𝑥=𝑥0+tcos𝛼,𝑦=𝑦0+tsin𝛼(t为参数),其中直线上的动点M(x,y)到定点M0的距离等于参数t的绝对值.当点M在点M0的上方时,t0;当点M在点M0的下方时,t0;当点M与点M0重合时,t=0.很多与线段长度有关的问题,我们可以考虑应用直线参数方程中t的几何意义去求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题1】已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的距离.思路分析:由直线l的方程可知,直线的斜率为34,即直线的倾斜角(设为α)的正切值为34,即tanα=34,则sinα=35,cosα=45.因为点P在直线l上,为了方便运算,选择点P作为直线上的定点,到点M和点N的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式来求.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:由直线方程3x-4y+1=0可知,直线的斜率为34,设直线的倾斜角为α,则tanα=34,sinα=35,cosα=45.又点P(1,1)在直线l上,所以直线l的参数方程为𝑥=1+45t,𝑦=1+35t(t为参数).因为3×5-4×4+1=0,所以点M在直线l上.由1+45t=5,得t=5,即点P到点M的距离为5.因为3×(-2)-4×6+1≠0,所以点N不在直线l上.由两点间距离公式得|PN|=(1+2)2+(1-6)2=34.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评求两点间的距离时,如果利用直线参数方程中参数的几何意义,动点必须也在直线上,否则只能用两点间距离公式解之.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题2】已知直线的参数方程为𝑥=1+2𝑡,𝑦=2+𝑡(t为参数),则该直线被圆x2+y2=9截得的弦长是多少?思路分析:本题考虑使用参数方程标准形式中参数t的几何意义来解,所以首先要把原参数方程转化为标准形式𝑥=1+25t',𝑦=2+15t'(t'为参数),再把此式代入圆的方程,整理得到一个关于t'的一元二次方程,弦长即为方程两根之差的绝对值.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:将参数方程𝑥=1+2𝑡,𝑦=2+𝑡转化为直线参数方程的标准形式为𝑥=1+25t',𝑦=2+15t'(t'为参数),并代入圆的方程,得1+25t'2+2+15t'2=9,整理得5t'2+8t'-45=0.设方程的两根分别为t1',t2',则有t1'+t2'=-85,t1'·t2'=-4,所以|t1'-t2'|=(𝑡1'+𝑡2')2-4𝑡1'𝑡2'=645+16=1255,即直线被圆截得的弦长为1255.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二直线参数方程的应用设过定点P0的直线l与二次曲线f(x,y)=0相交于P,Q两点,将直线l的参数方程代入曲线方程f(x,y)=0,得到关于t的二次方程At2+Bt+C=0(A≠0).设P,Q两点对应的参数分别为t1,t2,则t1,t2为上述方程的两根,有t1+t2=-𝐵𝐴,t1t2=𝐶𝐴,且有如下结论:(1)弦长|PQ|=|t2-t1|=(𝑡1+𝑡2)2-4𝑡1𝑡2=𝐵2-4AC|𝐴|;(2)若P0为PQ的中点,则有t1+t2=0,即B=0,P0对应参数t0=𝑡1+𝑡22;(3)若P0为PQ的一个三等分点,则有t1=-2t2或t2=-2t1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题3】已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.解:因为l过定点M,且l的倾斜角为3π4,所以它的参数方程是𝑥=-1+𝑡cos3π4,𝑦=2+𝑡sin3π4(t为参数).即𝑥=-1-22t,𝑦=2+22t(t为参数).①把①代入抛物线方程,得t2+2t-2=0.解得t1=-2+102,t2=-2-102.由参数t的几何意义,得|AB|=|t1-t2|=10,|MA|·|MB|=|t1t2|=2.点评本题涉及普通方程和参数方程的互化,在解题过程中,注意参数t的几何意义的应用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题4】过点P102,0作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于点A,B,求|PA||PB|的最小值及相应的α值.解:∵直线过点102,0,倾斜角为α,∴直线的参数方程为𝑥=102+tcos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数).将其代入x2+2y2=1中,得102+tcos𝛼2+2(tsinα)2=1,整理,得(1+sin2α)t2+(10cosα)t+32=0,∴t1+t2=-10cos𝛼1+sin2α,t1t2=32(1+sin2α),ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三∴|PA||PB|=|t1t2|=32(1+sin2α).又∵Δ=(10cosα)2-4(1+sin2α)×32≥0,∴10cos2α-6-6sin2α≥0,∴10(1-sin2α)-6-6sin2α≥0,∴sin2α≤14.∵α∈[0,π),∴当且仅当sin2α=14,即sinα=12,即α=π6或5π6时,|PA||PB|最小,其最小值为321+14=65,∴|PA||PB|min=65.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评(1)将原问题用直线的参数方程转化成了二次函数,利用Δ≥0及根与系数的关系来解直线与圆锥曲线的弦长问题,比直接用普通方程联立直线方程与圆锥曲线方程求弦长的计算简单.(2)本题将最值问题转化成了三角函数有界性问题,构思巧妙,充分利用了直线标准参数方程中的参数的几何意义,并巧用了Δ≥0来转化最值求法,难度中等.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点未理解直线参数方程的标准形式致误【典型例题5】直线𝑥=3+𝑡sin20°,𝑦=-𝑡cos20°(t为参数)的倾斜角是.错解:由𝑥=𝑡sin20°+3,𝑦=-𝑡cos20°,得𝑥=3+𝑡cos70°,𝑦=-𝑡sin70°,所以,直线倾斜角为70°.错因分析:未正确理解直线参数方程的标准形式,与𝑥=3+𝑡cos70°,𝑦=𝑡sin70°搞混淆了.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解:方法一:将原方程改写成𝑥-3=𝑡sin20°,-𝑦=𝑡cos20°,消去t,得y=(x-3)tan110°,所以直线的倾斜角为110°.方法二:将原参数方程化为𝑥=3+(-𝑡)cos110°,𝑦=(-𝑡)sin110°,令-t=t',则𝑥=3+𝑡'cos110°,𝑦=𝑡'sin110°,所以直线的倾斜角为110°.答案:110°点评只有在𝑥=𝑥0+tcos𝜃,𝑦=𝑦0+tsin𝜃(t为参数)中,θ才表示直线的倾斜角.如果不是这种形式,则需要进行转化.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.直线𝑥=2+3𝑡,𝑦=-1+𝑡(t为参数)上对应t=0,t=1两点间的距离是()A.1B.10C.10D.22解析:因为题目所给方程不是参数方程的标准形式,参数t不具有几何意义,故不能直接由1-0=1来得距离,应将t=0,t