搜索
-1-2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.能依据圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数,写出它们的参数方程.2.能利用圆锥曲线的参数方程来解决简单的实际问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习1.圆的参数方程圆的普通方程圆的参数方程参数的几何意义x2+y2=r2x=rcosα,y=rsinα(α为参数)OP与x轴正方向的夹角为α(O为坐标原点,P为圆上任意一点)(x-a)2+(y-b)2=r2x=a+rcosα,y=b+rsinα(α为参数)OP与x轴正方向的夹角为α(P为圆上任意一点,O为圆心)x2+y2=r2x=(1-k2)r1+k2,y=2kr1+k2(k为参数)A(-r,0),P为圆上任意不同于A的一点,k是直线AP的斜率JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习温馨提示关于圆的参数方程说明以下几点:(1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.有些参数方程不能直接看出是否表示圆,这时可考虑通过消去参数转化为普通方程(对于其他曲线必要时也可类似考虑).(2)一般地,同一条曲线可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以有不同的形式.形式不同的参数方程,它们表示的曲线却可以是相同的.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.(3)方程𝑥=𝑟cos𝜃,𝑦=𝑟sin𝜃(θ为参数)和方程𝑥=𝑎+𝑟cos𝜃,𝑦=𝑏+𝑟sin𝜃(θ为参数)若要表示一个完整的圆,θ至少应满足θ∈[α,β],β-α≥2π.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习2.椭圆的参数方程(1)椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的参数方程是𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏sin𝜑(φ为参数).参数φ的几何意义是以原点为圆心,a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角.(2)中心在点C(x0,y0),长轴平行于x轴的椭圆的参数方程是𝑥=𝑥0+acos𝜑,𝑦=𝑦0+bsin𝜑(φ为参数).参数φ的几何意义是以C为圆心,a为半径所作圆上一点P和椭圆中心C的连线CP与x轴正半轴的夹角.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习自主思考1椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么?提示:从几何变换的角度看,通过伸缩变换,令𝑥'=1𝑎x,𝑦'=1𝑏y,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1可以变成圆x'2+y'2=1.利用圆x'2+y'2=1的参数方程𝑥'=cos𝜑,𝑦'=sin𝜑(φ是参数)可以得到椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的参数方程𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏sin𝜑(φ是参数).因此,参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角),而不是OM的旋转角,如图.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习3.双曲线的参数方程双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的参数方程是𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏tan𝜑(φ为参数).自主思考2圆锥曲线的参数方程是否唯一?提示:同一条圆锥曲线的参数方程形式是不唯一的.例如,椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的参数方程可以是𝑥=𝑎cos𝜑,𝑦=𝑏sin𝜑的形式,也可以是𝑥=𝑎sin𝜑,𝑦=𝑏cos𝜑的形式,二者只是形式上不同而已,但实质上都是表示同一个椭圆.同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示,只是选取的参数不同,参数的几何意义也就不同.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一圆的参数方程的应用1.圆的参数方程是三角形式,这有利于进行三角代换,运用三角知识解决解析几何中的范围、最值问题,使复杂的计算变得十分简捷.2.当动点的轨迹由圆上的点来决定时,可借助于圆的参数方程表示出这一点的坐标,从而建立动点与该点的联系,求得动点的参数方程.【典型例题1】点A(3,0)是圆x2+y2=9上的一个定点,在圆上另取两点B,C,使∠BAC=π3,求△ABC重心的轨迹.思路分析:利用圆的参数方程设点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:不妨设B(3cosθ,3sinθ),C3cos𝜃+2π3,3sin𝜃+2π3,0θ4π3.设重心为G(x,y),则x=133+3cos𝜃+3cos𝜃+2π3=1+cos𝜃+π3,y=130+3sin𝜃+3sin𝜃+2π3=sin𝜃+π3,消去θ得(x-1)2+y2=1.∵0θ4π3,π3θ+π35π3,-1≤cos𝜃+π312,∴0≤x32.故重心G的轨迹方程是圆(x-1)2+y2=1中0≤x32的一段圆弧.点评利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的参数方程的主要作用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题2】已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,求x2+2xy+3y2的最大值和最小值.思路分析:利用参数方程,转化成三角函数的问题来解决.解:圆x2+y2=1的参数方程为𝑥=cos𝛼,𝑦=sin𝛼(α为参数).∴x2+2xy+3y2=cos2α+2cosαsinα+3sin2α=1+cos2𝛼2+sin2α+3×1-cos2𝛼2=2+sin2α-cos2α=2+2sin2𝛼-π4.则当α=kπ+3π8(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取最大值为2+2,当α=kπ-π8(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取最小值为2-2.点评利用圆的参数方程,往往可以把最值问题转化为三角函数问题求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二椭圆参数方程的应用1.椭圆的参数方程是三角形式,利用椭圆的参数方程进行三角代换,可将解析几何中的最值、范围等问题转化为三角函数问题求解.2.当动点的轨迹由椭圆上的点决定时,可利用椭圆的参数方程表示出这一点的坐标,从而建立动点与该点的联系,求得动点的参数方程.3.由椭圆的参数方程可知,对于直线与椭圆的综合问题,可利用参数方程设元,探求解题方法.常常把问题转化为三角函数,三角方程或三角不等式问题.【典型例题3】在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆𝑥23+y2=1上一个动点,求x+y的最大值.思路分析:将普通方程化为参数方程,利用三角函数的相关知识求最值.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:椭圆方程𝑥23+y2=1的参数方程为𝑥=3cos𝜃,𝑦=sin𝜃(θ为参数).设椭圆上任一点P(3cosθ,sinθ),则x+y=3cosθ+sinθ=2sin𝜃+π3.∵sin𝜃+π3∈[-1,1],∴当sin𝜃+π3=1时,x+y取最大值2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题4】已知A,B分别是椭圆𝑥236+𝑦29=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程.解:由题意知A(6,0),B(0,3).由于动点C在椭圆上运动,故可设动点C的坐标为(6cosθ,3sinθ),点G的坐标为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得𝑥=6+0+6cos𝜃3,𝑦=0+3+3sin𝜃3(θ为参数),即𝑥=2+2cos𝜃,𝑦=1+sin𝜃.消去参数θ得到(𝑥-2)24+(y-1)2=1.故重心G的轨迹方程为𝑥=2+2cos𝜃,𝑦=1+sin𝜃(θ为参数).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三双曲线参数方程的应用1.利用双曲线的参数方程可进行三角代换,从而将有关问题转化为三角函数问题求解.2.直线与双曲线位置关系的综合题,可考虑利用双曲线的参数方程设元,再探求解题方法.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题5】如图,设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1,F2是两个焦点,证明:|PF1|·|PF2|=|OP|2.思路分析:设P1cos𝜑,tan𝜑,证明等式两边等于同一个式子即可.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:设P1cos𝜑,tan𝜑,∵F1(-2,0),F2(2,0),∴|PF1|=1cos𝜑+22+tan2φ=2cos2φ+22cos𝜑+1,|PF2|=1cos𝜑-22+tan2φ=2cos2φ-22cos𝜑+1.∴|PF1|·|PF2|=2cos2φ+12-8cos2φ=2cos2φ-1.∵|OP|2=1cos2φ+tan2φ=2cos2φ-1,∴|PF1|·|PF2|=|OP|2.点评利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式,方法简单、明确,有利于掌握应用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题6】已知圆O1:x2+(y-2)2=1上一点P与双曲线x2-y2=1上一点Q,求P,Q两点距离的最小值.思路分析:已知条件是求圆上的动点与双曲线上动点距离的最值,若分别设两曲线上的点,则涉及四个变数不易求最值,考虑到圆是对称图形,可转化为圆心与双曲线上点的距离最值与圆半径的关系.解:设Q1cos𝜃,tan𝜃,|O1P|=1,|O1P|+|PQ|≥|O1Q|.又|O1Q|2=1cos2θ+(tanθ-2)2=tan2θ+1+(tan2θ-4tanθ+4)=2tan2θ-4tanθ+5=2(tanθ-1)2+3.当tanθ=1,即θ=π4时,|O1Q|2取最小值3,此时有|O1Q|min=3.∴|PQ|min=3-1.点评利用双曲线的参数方程,可以将与双曲线上的点有关的最值问题转化为关于一个变数的函数关系式,从而可以利用函数性质求其最值.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点因忽略转化的等价性而致误【典型例题7】在圆x2+2x+y2=0上求一点,使它到直线2x+3y-5=0的距离最大.错解:由x2+2x+y2=0得(x+1)2+y2=1.设P(-1+cosθ,sinθ)为圆上一点,则P到直线2x+3y-5=0的距离为d=|2(-1+cos𝜃)+3sin𝜃-5|22+32=|13sin(𝜃+𝛼)-7|13其中tan𝛼=23,α为锐角.当sin(θ+α)=1,θ+α=π2,即θ=π2-α时,d取到最大值713-1313,此时x=-1+cosθ=-1+sinα=-1+21313,y=sinθ=cosα=31313,故所求点P坐标为-1+21313,31313.Z