搜索
-1-§3参数方程化成普通方程首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.掌握将参数方程化成普通方程的两种常用的消去参数的方法:代数法和三角恒等式法.2.选取适当的参数,能将普通方程化为参数方程.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二一、代数法消去参数1.代入法从参数方程中选出一个方程,解出参数,然后把参数的表达式代入另一个方程,消去参数,得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.2.代数运算法通过代数方法,如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形,然后把参数方程中的两个方程进行代数运算,消去参数.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二二、利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x,y都表示为参数的三角函数,那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数.常用的三角恒等式有:sin2θ+cos2θ=1,1cos2θ-tan2θ=1,(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=1等.温馨提示将参数方程化为普通方程时,要注意两个方面:(1)根据参数满足的条件,明确x,y的取值范围;(2)消去参数后,普通方程与原参数方程中的取值范围保持一致.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二自主思考曲线的参数方程与普通方程的互化有什么意义?提示:在数学中有时需要把曲线的参数方程转化为普通方程,而有时又需要将普通方程转化为参数方程,这都是基于对曲线的更好的研究.有时要直接建立曲线的普通方程很困难;有时要直接建立曲线的参数方程又不容易,故在数学中常常把问题进行相互转化从而把问题更好地解决.曲线的参数方程与相应的普通方程是同一曲线方程的两种不同表现形式,在具体问题中采用哪种方程形式能更好地研究相应的曲线的性质就可以灵活地选用相应曲线的对应方程形式.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一参数方程化为普通方程将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有:代入消元法、加减消元法、利用恒等式(三角的或代数的)消元法.(1)代入消元法先由一个方程求出参数表达式(用直角坐标变量表示),再代入另一个方程.(2)加减消元法将参数方程适当变形,将两式相加(减)消去其中的参数.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(3)利用代数或三角函数值中的恒等式消去参数例如,对于参数方程𝑥=𝑎𝑡+1𝑡cos𝜃,𝑦=𝑎𝑡-1𝑡sin𝜃.如果t是常数,θ是参数,那么可以利用公式sin2θ+cos2θ=1消去参数;如果θ是常数,t是参数,那么适当变形后可以利用(m+n)2-(m-n)2=4mn消去参数.注意:(1)并不是所有的参数方程都能化为普通方程;(2)参数方程化为普通方程时要保证转化过程的等价性.坐标x,y的变化范围不能扩大或缩小,即对应曲线上的点的坐标不能有增减.实际上,坐标x,y的取值范围是由参数方程给定的,所以为了防止转化过程中出现范围的变化,也可以先由参数方程讨论x,y的变化范围,再对方程进行转化.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题1】将下列参数方程化为普通方程:(1)𝑥=𝑡+1𝑡,𝑦=𝑡2+1𝑡2(t为参数);(2)𝑥=2+3cos𝜃,𝑦=3sin𝜃(θ为参数).思路分析:利用参数作为桥梁,进行适当变形.解:(1)∵x=t+1𝑡,∴x2=t2+1𝑡2+2.把y=t2+1𝑡2代入得x2=y+2.又∵x=t+1𝑡,当t0时,x=t+1𝑡≥2;当t0时,x=t+1𝑡≤-2.∴x≥2或x≤-2.∴普通方程为x2=y+2(x≥2或x≤-2).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)𝑥=2+3cos𝜃,𝑦=3sin𝜃可化为cos𝜃=𝑥-23,sin𝜃=𝑦3.两式平方相加,得𝑥-232+𝑦32=1.即普通方程为(x-2)2+y2=9.点评参数方程化为普通方程常用到三角恒等式,例如:cos2θ+sin2θ=1,1cos2θ-tan2θ=1等.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题2】方程𝑥=2𝑡-2-𝑡,𝑦=2𝑡+2-𝑡(t为参数)表示的曲线是()A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆思路分析:先将参数方程化为普通方程,然后判断曲线类型.注意到2t与2-t互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t的项.从另一个角度来看,2t是以整体的形式出现的,可将它看作参数,用x,y表示出来以后,再代入消元,得到普通方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解析:方法一:x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4,即y2-x2=4,又注意到2t0,2t+2-t≥22𝑡·2-𝑡=2,即y≥2,所以与以上参数方程等价的普通方程为y2-x2=4(y≥2).故选B.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三方法二:两式相加得2t=𝑥+𝑦2,代入到x=2t-2-t,得x=𝑥+𝑦2−2𝑥+𝑦,整理,得y2-x2=4.又注意到2t0,2t+2-t≥22𝑡·2-𝑡=2,即y≥2,所以与以上参数方程等价的普通方程为y2-x2=4(y≥2).显然它表示焦点在y轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B.答案:BZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评消元(或消参)的主要方法是代入消元法和加减消元法,到底用哪种方法取决于参数方程的形式.因此,将参数方程化为普通方程关键是将参数方程的结构特征观察清楚,然后根据方程的特征选择消元的方法,有时利用一些常见的公式来消元.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二普通方程化为参数方程从普通方程化为参数方程,必须先指定参数或给出参数与x,y中之一的函数关系.如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)就是曲线的参数方程.将普通方程化为参数方程,其步骤如下:(1)选择合适的参数t;一般地,常选取有实际意义的变数作为参数,如:角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标(或纵坐标)等.(2)将x=f(t)(或y=g(t))代入普通方程,解出y(或x);(3)写出普通方程对应的参数方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三注意:(1)同一个普通方程,由于选择参数不同,得到的参数方程也不同;(2)普通方程化为参数方程同样要保证转化过程的等价性.【典型例题3】将4x2+y2=16按下列条件化为参数方程.(1)x=2cosφ(φ为参数);(2)y=tx+4(t为参数).思路分析:将普通方程化为参数方程,只需选择或按指定的参数,求得x=f(t),y=g(t)即可.解:(1)将x=2cosφ代入4x2+y2=16,得4(2cosφ)2+y2=16.∴y2=16(1-cos2φ)=16sin2φ.取正值得y=4sinφ.故可得参数方程为𝑥=2cos𝜑,𝑦=4sin𝜑(0≤φ2π).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)将y=tx+4代入原方程得(4+t2)x2=-8tx.∴x=-8𝑡4+𝑡2,y=-8𝑡24+𝑡2+4=16-4𝑡24+𝑡2或x=0,y=4.故参数方程为𝑥=-8𝑡4+𝑡2,𝑦=16-4𝑡24+𝑡2(t为参数)(x=0,y=4包含在方程中).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三点评把普通方程化为参数方程的关键是代换,它的过程是F(x,y)=0⇒确定一个关系式x=f(t)(t为参数)⇒代入F(x,y)=0求得y=g(t)⇒𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).注意的问题是x与f(t)的取值应一致.需要注意的是,由于选择的参数不同,同一曲线的参数方程也不同.如果参数选择恰当,方程可以比较简单或者明显地反映其物理、几何意义.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题4】已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程.思路分析:先把圆的方程化成标准形式再转化.解:把x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程为(x+1)2+(y-3)2=1.∴参数方程为𝑥=-1+cos𝜃,𝑦=3+sin𝜃(θ为参数).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点未注意参数的范围致误【典型例题5】曲线y=x2的一种参数方程为()A.𝑥=𝑡2,𝑦=𝑡4(t为参数)B.𝑥=sin𝑡,𝑦=sin2t(t为参数)C.𝑥=𝑡,𝑦=𝑡(t为参数)D.𝑥=𝑡,𝑦=𝑡2(t为参数)错解:选A,B,C.错因分析:在相互转化过程中,没有注意消参前后x,y的取值范围保持一致.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解:在y=x2中,x∈R,y≥0.在选项A中,x=t2≥0,不符合题意.在选项B中,x=sint∈[-1,1],不符合题意.在选项C中,x=𝑡≥0,不符合题意.故选D.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.参数方程𝑥=1+𝑡,𝑦=2-2𝑡(t为参数)表示的曲线是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析:𝑥=1+𝑡,①𝑦=2-2𝑡,②2×①2+②2,得2x2+y2=4,∴𝑥22+𝑦24=1,且x≥0,y≥0,它表示椭圆的一部分.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.参数方程𝑥=𝑡+1𝑡,𝑦=𝑡-1𝑡(t为参数)表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.椭圆解析:∵𝑥=𝑡+1𝑡,𝑦=𝑡-1𝑡,∴𝑥2=𝑡2+2+1𝑡2,①𝑦2=𝑡2-2+1𝑡2,②①-②得x2-y2=4.它表示双曲线.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.圆𝑥=𝑟+𝑟cos𝜃,𝑦=𝑟2+rsin�