搜索
-1-§4平摆线和渐开线-2-4.1平摆线4.2渐开线首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.2.了解平摆线和渐开线在实际中的作用.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二一、平摆线1.平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线),如图.2.平摆线(旋轮线)的参数方程半径为r的圆在x轴上滚动,起点为原点O,它的平摆线的参数方程为𝑥=r(α-sin𝛼),𝑦=r(1-cos𝛼)(-∞α+∞).JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二3.平摆线的性质当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高点(πr,2r),再滚动半周,点M到达(2πr,0),这时圆周和x轴又相切于点M,得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r,最小值是0,即平摆线的拱高为2r.温馨提示摆线的特征圆的摆线每一拱的宽度等于圆的周长,拱高等于圆的直径(摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫作一个拱).JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二二、渐开线1.渐开线、基圆把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在绳的外端,把绳拉紧再逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持相切,此时,铅笔尖所画出的曲线称为此圆的渐开线,此圆称为渐开线的基圆,如图.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二2.渐开线的参数方程半径为r的圆的渐开线的参数方程是𝑥=r(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=r(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(其中φ为参数).温馨提示圆的渐开线的特征(1)圆的渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹.(2)发生线沿基圆滚过的长度,等于基圆上被滚过的圆弧长度.(3)基圆大小不等的渐开线形状不同,一般基圆越大,它的渐开线愈趋平直.(4)基圆以内无渐开线.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二自主思考1圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么?JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二提示:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点P相对于圆心的张角.如图,其中的∠AOB即是角φ.显然点P由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二自主思考2圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程吗?提示:用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线普通方程,可以根据其参数方程𝑥=𝑟(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=𝑟(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(φ为参数)消去参数φ,得普通方程,但根据方程画出曲线十分费时.而利用参数方程把两个变量x,y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观.所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一求平摆线的参数方程求平摆线的参数方程,只需由题意求出圆的半径r即可.【典型例题1】平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.思路分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式𝑥=𝑟(𝜑-sin𝜑),𝑦=𝑟(1-cos𝜑)(φ为参数),可知只需求出其中的r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:令r(1-cosφ)=0,可得cosφ=1.所以φ=2kπ(k∈Z),代入可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.所以r=12𝑘π.又根据实际情况可知r是圆的半径,故r0.所以应有k0,且k∈Z,即k∈N+.所以所求摆线的参数方程是𝑥=12𝑘π(φ-sin𝜑),𝑦=12𝑘π(1-cos𝜑)(φ为参数)(其中k∈N+).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题2】已知圆C的参数方程是𝑥=1+6cos𝛼,𝑦=-2+6sin𝛼(α为参数)和直线l对应的普通方程是x-y-62=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x轴的交点.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:(1)圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-62=0的距离为d=622=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是𝑥=6𝜑-6sin𝜑,𝑦=6-6cos𝜑(φ为参数).(3)令y=0,得6-6cosφ=0⇒cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=6φ-6sinφ,得x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).点评典型例题1易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x和y的值;或者在求出sinφ=1后,直接得出φ=0,从而导致答案不全面.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二求渐开线的参数方程正确求解此类问题的前提是记住渐开线的参数方程的形式,明确每个字母的意义.关键是求出圆的半径.【典型例题3】有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为32mm,求齿廓线的渐开线的参数方程.思路分析:直接利用圆的渐开线的参数方程.解:因为基圆的直径为32mm,所以基圆的半径为16mm,因此齿廓线的渐开线的参数方程为𝑥=16(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=16(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(φ为参数).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三平摆线、渐开线参数方程的应用【典型例题4】求平摆线𝑥=𝑡-sin𝑡,𝑦=1-cos𝑡(0≤t2π)与直线y=1的交点的直角坐标.思路分析:利用参数方程求出t的三角函数值,从而求出点的坐标.解:由题意知,y=1-cost=1,∴cost=0,∴sint=1.∴t=2kπ+π2(k∈Z).又∵0≤t2π,∴t=π2.∴x=π2-1.∴交点的直角坐标为π2-1,1.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是()A.πB.2πC.12πD.14π解析:根据条件可知圆的摆线的参数方程为𝑥=3𝜑-3sin𝜑,𝑦=3-3cos𝜑(φ为参数),把y=0代入可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).而x=3φ-3sinφ=6kπ(k∈Z).根据选项可知应选C.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.半径为2的圆的渐开线方程是()A.𝑥=2(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=2(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(φ为参数)B.𝑥=2cos𝜑,𝑦=2sin𝜑(φ为参数)C.𝑥=2𝜑sin𝜑,𝑦=-2𝜑cos𝜑(φ为参数)D.𝑥=2(sin𝜑-𝜑cos𝜑),𝑦=2(cos𝜑+𝜑sin𝜑)(φ为参数)答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.面积为36π的圆的平摆线参数方程为.解析:S=36π,∴r=6.∴平摆线参数方程为𝑥=6(𝜑-sin𝜑),𝑦=6(1-cos𝜑)(φ为参数).答案:𝑥=6(𝜑-sin𝜑),𝑦=6(1-cos𝜑)(φ为参数)SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.面积为64π的圆的渐开线的参数方程为.解析:S=64π,∴r=8.∴渐开线的参数方程为𝑥=8(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=8(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(φ为参数).答案:𝑥=8(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=8(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(φ为参数)SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.求摆线𝑥=2(𝑡-sin𝑡),𝑦=2(1-cos𝑡)(0≤t2π)与直线y=2的交点的直角坐标.解:当y=2时,2=2(1-cost),∴cost=0.∵0≤t2π,∴t=π2或32π,∴x1=2π2-sinπ2=π-2,x2=3π+2.∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点