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-1-第二章参数方程测评(时间:90分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.直线(t为参数)上与点P(4,5)的距离等于的点的坐标是()A.(-4,5)B.(3,6)C.(3,6)或(5,4)D.(-4,5)或(0,1)解析:由题意,可得|t|=⇒t=±,将t代入原方程,得所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4).答案:C2.设r0,那么直线xcosθ+ysinθ=r与圆(φ是参数)的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.视r的大小而定解析:易知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d==r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案:B3.参数方程(t为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线解析:由x=4t+可知,x≥4或x≤-4,又y=-2,故参数方程(t为参数)所表示的曲线是两条射线.答案:B4.已知圆的渐开线的参数方程为(φ为参数),则渐开线与x轴的交点可以是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)-2-答案:D5.曲线(θ为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上解析:由已知得消参得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x上.故选B.答案:B6.双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±3x解析:将参数方程化为普通方程为-x2=1.故渐近线方程为y=±2x.答案:C7.已知过曲线(θ为参数,π≤θ≤2π)上一点P与原点O的直线PO,倾斜角为,则点P的极坐标为()A.B.C.D.解析:将曲线化成普通方程为=1(y≥0),与直线PO:y=x联立可得P点坐标为.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到P点的极坐标.答案:D-3-8.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4sin,则直线l和曲线C的公共点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个答案:B9.参数方程(t为参数)所表示的曲线是()解析:将参数方程进行消参,则有t=,把t=代入y=中得,当x0时,x2+y2=1,此时y≥0;当x0时,x2+y2=1,此时y≤0.对照选项,可知D正确.答案:D10.参数方程(θ为参数)化成普通方程是()A.2x-y+4=0B.2x+y-4=0C.2x-y+4=0,x∈[2,3]D.2x+y-4=0,x∈[2,3]解析:∵x=2+sin2θ=,cos2θ=y+1,∴x=,即2x+y-4=0.又∵0≤sin2θ≤1,∴x∈[2,3].故选D.答案:D第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为.-4-解析:将直线l1的参数方程化成普通方程为y=3x-2,又l2:y=3x+4,故l1∥l2,在l1上取一点(0,-2),其到l2:3x-y+4=0的距离就是l1与l2的距离,即d=.答案:12.已知椭圆C:(θ为参数)经过点,则m=,离心率e=.解析:椭圆的参数方程化为普通方程为x2+=1.把代入,得m2+=1,得m=±.又∵a=2,b=1,c=,∴e=.答案:±13.椭圆(θ为参数),若θ∈[0,2π],则椭圆上的点(-a,0)对应的θ=.解析:把点(-a,0)代入参数方程,得cosθ=-1,sinθ=0,又θ∈[0,2π],所以θ=π.答案:π14.若过点P(-3,3)且倾斜角为π的直线交曲线于A,B两点,则|AP|·|PB|=.解析:直线的参数方程为(t为参数),依题意得消去φ,得t2+t+=0,-5-设其两根为t1,t2,则t1t2=,∴|AP|·|PB|=|t1||t2|=|t1·t2|=.答案:15.已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C的方程为.解析:直线(t为参数)与x轴的交点为(-1,0),则r=,∴圆C的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=2三、解答题(本大题共4小题,共25分)16.(本小题6分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.分析:求直线被抛物线所截弦长,可利用直线参数方程的几何意义解决.将直线的参数方程与抛物线方程联立可解得参数的值,代入即可.解:将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4.解得t1=0,t2=-8.所以AB=|t1-t2|=8.17.(本小题6分)如图,已知椭圆=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点,求证:|OP|·|OQ|为定值.-6-证明:设M(4cosφ,2sinφ),φ为参数,B1(0,-2),B2(0,2).则MB1的方程为y+2=x=x,令y=0,则x=,即|OP|=.MB2的方程为y-2=x=x,∴|OQ|=.∴|OP|·|OQ|==16.18.(本小题6分)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:=1.C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t=时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),故M.C3为直线x-2y-7=0,M到C3的距离d=|4cosθ-3sinθ-13|.-7-从而当cosθ=,sinθ=-时,d取得最小值.19.(本小题7分)求直线(t为参数)被双曲线x2-y2=1截得的弦长.解:(t'=2t为参数),代入x2-y2=1,得=1,整理,得t'2-4t'-6=0,设其两根为t1',t2',则t1'+t2'=4,t1'·t2'=-6.从而弦长=|t1'-t2'|===2.