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1课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1求作向量的和1．如图，已知两个不共线的非零向量a，b，求作a＋b.解：在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b.则OB＝a＋b.2．已知两非零向量a，b(如图所示)求作a＋b.解：如图所示：在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b.题组2向量加法运算3.如图，D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A．AD＋BE＋CF＝0B．BD－CF＋DF＝0C．AD＋CE－CF＝0D．BD－BE－FC＝0解析：选A因为D，E，F分别为△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以BE＝DF，CF＝FA.又因为AD＋DF＋FA＝0，所以AD＋BE＋CF＝0，故选A.4．化简下列各式：①AB＋BC＋CA；②(AB＋MB)＋BO＋OM；③OA＋OC＋BO＋CO；④AB＋CA＋BD＋DC.其中结果为0的个数是()A．1B．2C．3D．42解析：选B由向量加法的运算法则知①④的结果为0.②③的结果分别为AB，BA.故选B.5．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于()A．25B．45C．12D．6解析：选B因为AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是45.6．根据图示填空．(1)AB＋OA＝________；(2)BO＋OD＋DO＝________；(3)AO＋BO＋2OD＝________.解析：由三角形法则知(1)AB＋OA＝OA＋AB＝OB；(2)BO＋OD＋DO＝BO；(3)AO＋BO＋2OD＝AD＋BD.答案：(1)OB(2)BO(3)AD＋BD7．在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA＋DA＝________.解析：因为DC＋BA＝0，BC＋DA＝0，所以BC＋DC＋BA＋DA＝0.答案：08．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，根据图示计算：(1)OA＋OC；(2)BC＋FE；(3)OA＋FE.解：(1)因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以OA＋OC＝OB.3(2)因为BC与FE方向相同且长度相等，所以BC与FE是相等向量，故BC＋FE与BC方向相同，长度为BC长度的2倍，因此BC＋FE可用DA表示．所以BC＋FE＝－DA.(3)因为OA与FE长度相等且方向相反，所以OA＋FE＝0.题组3向量加法的应用9．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|AC|＝82km，∠BAC＝45°.答案：82km北偏东45°10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0m/s，现在有风，风使雨滴以433m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用OA表示雨滴下落的速度，OB表示风使雨滴水平向东的速度．以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，OC就是雨滴下落的实际速度．在Rt△OAC中，|OA|＝4，|AC|＝433，∴|OC|＝|OA―→|2＋|AC―→|2＝42＋4332＝833，∴tan∠AOC＝|AC―→||OA―→|＝4334＝33，∴∠AOC＝30°.故雨滴着地时的速度大小是833m/s，方向与垂直方向成30°角向东.[能力提升综合练]1．设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为()4①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤解析：选Ca＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝AB＋BC＋(CD＋DA)＝0，∴①③⑤是正确的．2．下列命题中正确的个数为()①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；②△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；③若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.A．0B．1C．2D．3解析：选B①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足AB＋BC＋CA＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则OA＋BC＋AB＝()A．CDB．OCC．DAD．CO解析：选BOA＋BC＋AB＝OA＋AB＋BC＝OB＋BC＝OC.4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选DPA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．5．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.5解析：∵|OA|＝|OB|且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以OA，OB为邻边的正方形的对角线的长，∴|a＋b|＝32.答案：326．若P为△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，则∠ACB＝________.解析：∵PA＋PB＝PC，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，∴|PA|＝|PB|＝|PC|.因此∠ACB＝120°.答案：120°7．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且|AB|＝|AD|＝1，OA＋OC＝OB＋OD＝0，cos∠DAB＝12.求|DC＋BC|与|CD＋BC|.解：∵OA＋OC＝OB＋OD＝0，∴OA＝CO，OB＝DO.∴四边形ABCD是平行四边形．又|AB|＝|AD|＝1，知四边形ABCD为菱形．又cos∠DAB＝12，∠DAB∈(0，π)，∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．∴|DC＋BC|＝|AB＋AD|＝|AC|＝2|AO|＝3，|CD＋BC|＝|BD|＝|AB|＝1.8．已知船在静水中的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，|CD|＝|AB|＝|v水|＝10m/min，|AD|＝|v船|＝20m/min，∴cosα＝|CD―→||AD―→|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．6故船行进的方向是与水流的方向成120°的角．