2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第2节 平面向量的线性运算（第3课时）向量数乘运算

1课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1向量的线性运算1.13122a＋8b－a－2b等于()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：选B原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝－a＋2b＝2b－a.2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④解析：选B①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．题组2用已知向量表示未知向量3．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c解析：选A依题意BD＝2DC，∴AD＝AB＋BD＝AB＋23BC＝AB＋23(AC－AB)＝13AB＋23AC＝23b＋13c，选A.4．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝23CA＋13CB，又AP＝tAB，则t的值为()A.13B.23C.12D.532解析：选A由题意可得AP＝CP－CA＝23CA＋13CB－CA＝13(CB－CA)＝13AB，又AP＝tAB，∴t＝13.5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由DE＝BE－BD＝23BC－12BA＝23(AC－AB)＋12AB＝－16AB＋23AC，得λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.答案：126.如图所示，已知▱ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且AK＝e1，AL＝e2，试用e1，e2表示BC，CD.解：法一：设BC＝x，则BK＝12x，AB＝e1－12x，DL＝12e1－14x，又AD＝x，由AD＋DL＝AL得x＋12e1－14x＝e2，解方程，得x＝43e2－23e1，即BC＝43e2－23e1，由CD＝－AB，AB＝e1－12x，得CD＝－43e1＋23e2.法二：设BC＝x，CD＝y，则BK＝12x，DL＝－12y.由AB＋BK＝AK，AD＋DL＝AL得－y＋12x＝e1，①x－12y＝e2.②－2×②＋①得12x－2x＝e1－2e2，3解得x＝23(2e2－e1)，即BC＝23(2e2－e1)＝43e2－23e1，同理得y＝23(－2e1＋e2)，即CD＝－43e1＋23e2.法三：如图所示，BC与AL的延长线相交于点E.则△DLA≌△CLE，从而AE＝2AL，CE＝AD，KE＝32BC，由KE＝AE－AK，得32BC＝2e2－e1，即BC＝23(2e2－e1)＝43e2－23e1.同理可得CD＝23(－2e1＋e2)＝－43e1＋23e2.题组3共线向量定理的应用7．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的有()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④解析：选A对于①，a＝－b；对于②，a＝－12b；对于③，a＝4b；对于④，若a＝λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a与b不共线．8．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，4AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A由AC－AD＝2(AD－AB)，得AD＝13AC＋23AB.同理可得，BE＝13BC＋23BA，CF＝13CA＋23CB，所以AD＋BE＋CF＝－13BC，故选A.9．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋1－52ke2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.解析：由题设知k22＝1－52k3，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或13.答案：－2或1310．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝－5e－3f.(1)用e，f表示AD；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的长度为BC长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．[能力提升综合练]1．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A．AD＝－13AB＋43ACB．AD＝13AB－43ACC．AD＝43AB＋13AC5D．AD＝43AB－13AC解析：选AAD＝AB＋BD＝AB＋43BC＝AB＋43(AC－AB)＝－13AB＋43AC.2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b.A．①②B．①③C．②D．③④解析：选A由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．3．已知△ABC和点M满足MA＋FC＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5解析：选B如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，依据平行四边形法则可得MC＋FC＝MD，又MA＋FC＋MC＝0，则AM＝MD，两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，设BC∩MD＝E，结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知，AE是△ABC的中线，同理可证BM，CM也在△ABC的中线上，即M是△ABC的重心．以AB、AC为邻边作平行四边形ABFC，依据向量加法的平行四边形法则可得AB＋AC＝AF＝2AE＝2×32AM＝3AM，则AB＋AC＝3AM.4．如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)()6①OA＋2OB；②34OA＋13OB；③12OA＋13OB；④34OA＋15OB.A．①②B．①②④C．①②③D．③④解析：选A依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有OE＝λOF＝λ[xOA＋(1－x)OB]＝λxOA＋(1－x)λOB，其中0＜x＜1，λ＞1，注意到λx＋(1－x)λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，34＋13＞34＋14＝1，12＋13＝56＜1，34＋15＝1920＜1，故选A.5．在四边形ABCD中，AB＝3e，CD＝－5e，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状为________．解析：由已知可得AB＝－35CD，所以AB∥CD，且|AB|≠|CD|.又|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案：等腰梯形6．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则t＝λ－μ的最大值是________．解析：设AE＝kAD,0≤k≤1，则AE＝k(AC＋2CB)＝k[AC＋2(AB－AC)]＝2kAB－kAC，∵AE＝λAB＋μAC，∴λ＝2k，μ＝－k，∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，7∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ的最大值为3.答案：37．如图，已知在平行四边形ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝14BC，设AB＝a，AD＝b，试用a，b分别表示AM，MH，AF.解：∵ABCD是平行四边形，BF＝MC＝14BC，∴FM＝BC－BF－MC＝12BC.∴FM＝12BC＝12AD＝AH.∴FM綊AH.∴四边形AHMF也是平行四边形．∴AF＝HM.又BM＝34BC＝34AD＝34b，而FB＝－14BC＝－14b，∴AM＝AB＋BM＝a＋34b.MH＝FA＝FB＋BA＝－14b－a.AF＝HM＝－MH＝14b＋a.8．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．解：(1)证明：∵OM＝λOB＋(1－λ)OA，∴OM＝λOB＋OA－λOA，OM－OA＝λOB－λOA，∴AM＝λAB(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．8又AM与AB有公共点A，∴A，B，M三点共线．(2)由(1)知AM＝λAB，若点B在线段AM上，则AM与AB同向且|AM|＞|AB|(如图所示)．∴λ＞1.9