2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第4节 平面向量的数量积（第2课时）平面向量数量积

1课下能力提升(二十)[学业水平达标练]题组1平面向量数量积的坐标运算1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选Da＋b＝(3，k＋2)，由a＋b与a共线，可得3k－(k＋2)＝0，解得k＝1，则a＝(1,1)，从而a·b＝1×2＋1×2＝4.2．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为()A.3B．3C．－3D．－3解析：选D向量a在b方向上的投影为a·b|b|＝－62＝－3.选D.3．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b＝()A.32，12B.12，32C.14，334D．(1,0)解析：选B法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝3x＋y＝3.由x2＋y2＝1，3x＋y＝3y≠0，，解得x＝12，y＝32，即b＝12，32.故选B.法二：利用排除法．D中，y＝0，∴D不符合题意；C中，向量14，334不是单位向量，∴C不符合题意；A中，向量32，12使得a·b＝2，∴A不符合题意．故选B.题组2向量模的问题4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．42B．25C．8D．82解析：选D易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝82＋－2＝82.5．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为3π4，且m·n＝－1，则|n|＝()A．－1B．1C．2D．－22解析：选Bcos3π4＝m·n|m||n|＝－12|n|＝－22，|n|＝1.故选B.6．已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________．解析：∵a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝t＋2＋t＋2＝5t＋452＋95.∴当t＝－45时，|a＋tb|有最小值355.答案：－45题组3向量的夹角与垂直问题7．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b解析：选C由题意知|a|＝12＋02＝1，|b|＝122＋122＝22，a·b＝1×12＋0×12＝12，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a－b与b垂直．8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－73解析：选D设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，由(c＋a)∥b，得－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，故m＝－79，n＝－73.9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，3∴AB＝(1,1)，AD＝(－3,3)．又AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB⊥AD，即AB⊥AD.(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC.设C点坐标为(x，y)，则DC＝(x＋1，y－4)，∴x＋1＝1y－4＝1，解得x＝0y＝5，∴点C的坐标为(0,5)．由于AC＝(－2,4)，BD＝(－4,2)，∴AC·BD＝8＋8＝160，|AC|＝25，|BD|＝25.设AC与BD的夹角为θ，则cosθ＝AC―→·BD―→|AC―→|·|BD―→|＝1620＝450，∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝25，可得1·y－2·x＝0，x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4，或x＝－2，y＝－4.故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×54＝0，整理得a·b＝－52，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.[能力提升综合练]1．已知向量OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)，若OA⊥AB，则m的值是()A.32B．－32C．4D．－4解析：选C∵OA＝(－1,2)，OB＝(3，m)，∴AB＝OB－OA＝(4，m－2)，又∵OA⊥AB，∴OA·AB＝－1×4＋2(m－2)＝－8＋2m＝0，解得m＝4.42．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)解析：选C设P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，∴AP·BP＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP·BP最小，此时点P的坐标为(3,0)．3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角θ的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665解析：选C设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以8＋x＝3，6＋y＝18，解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，所以cosθ＝a·b|a||b|＝1665.4．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈－π2，π2，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，2]B．[1，2]C．[1,2]D．[2，2]解析：选D|a＋b|＝1＋cosθ2＋sin2θ＝2＋2cosθ.∵θ∈－π2，π2，∴cosθ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[2，2]．5.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若OA⊥OB，则向量OB的坐标为________．解析：依题意设B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，则OB＝(cosθ，sinθ)，OA＝(1,1)．因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝3π4，所以OB＝－22，22.5答案：－22，226．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：因为a与b的夹角为锐角，所以0a·b|a||b|1，即03λ2＋4λ5λ2×9λ2＋41，解得λ－43或0λ13或λ13.答案：－∞，－43∪0，13∪13，＋∞7.如图，已知A(1,1)，B(5,4)，C(2,5)，设向量a是与向量AB垂直的单位向量．(1)求单位向量a的坐标；(2)求向量AC在向量a上的投影；(3)求△ABC的面积S△ABC.解：(1)设a＝(x，y)，依题意有AB＝(4,3)，|AB|＝5，|a|＝1，且a⊥AB，即a·AB＝0，所以4x＋3y＝0，x2＋y2＝1，解得x＝－35，y＝45或x＝35，y＝－45，所以a＝－35，45或a＝35，－45.(2)设向量AC与单位向量a的夹角为θ，AC在a上的投影为h，则h＝|AC|cosθ＝AC―→·a|a|＝AC·a.又因为AC＝(1,4)，所以当a＝－35，45时，h＝1×－35＋4×45＝135；当a＝35，－45时，h＝1×35＋4×－45＝－135.(3)S△ABC＝12|AB||h|＝12×5×135＝132.6