2018-2019学年高中数学 第二章 平面向量 第5节 平面向量应用举例课下能力提升（二十一）（含

1课下能力提升(二十一)[学业水平达标练]题组1平面向量在平面几何中的应用1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，AB＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是()A．3x－2y＋6＝0B．3x＋2y＋6＝0C．2x＋3y＋6＝0D．2x－3y＋6＝0解析：选B由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以AB＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0.2．在四边形ABCD中，AB＝DC，且|AB|＝|BC|，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形解析：选B由AB＝DC知四边形ABCD为平行四边形，由|AB|＝|BC|知▱ABCD的邻边相等，∴四边形ABCD为菱形．3．已知非零向量AB与AC满足AB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|·BC＝0，且AB―→|AB―→|·AC―→|AC―→|＝12，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：选DAB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|是向量AB，AC方向上的两个单位向量的和，它在∠A的平分线上，由AB―→|AB―→|＋AC―→|AC―→|·BC＝0，知此三角形为等腰三角形，再由AB―→|AB―→|·AC―→|AC―→|＝12知∠A为60°，故此三角形为等边三角形．4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.2解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3,0)，AC＝(3，3)，设AE＝λAC，则E的坐标为(3λ，3λ)，故BE＝(3λ，3λ－3)．因为BE⊥AC，所以BE·AC＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝14，所以E34，34.故ED＝94，－34，|ED|＝212，即ED＝212.答案：2125.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．证明：设AB＝a，AD＝b，则AF＝a＋12b，ED＝b－12a，∴AF·ED＝a＋12b·b－12a＝12b2－12a2＋34a·b.又AB⊥AD，且|AB|＝|AD|，∴a2＝b2，a·b＝0，∴AF·ED＝0，∴AF⊥ED，即AF⊥DE.题组2向量在物理中的应用6．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.v1v2解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．7．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前行进60m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为________J.解析：所做的功W＝60×50×cos30°＝15003J.答案：150038．在水流速度为43km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．3解：如图所示，设AB表示水流速度，AC表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为一对角线作▱ABCD，则AD就是船的航行速度．∵|AB|＝43，|AC|＝12，∴|AD|＝|BC|＝83，tan∠ACB＝4312＝33，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即船的航行速度的大小为83km/h，方向与水流方向的夹角为120°.[能力提升综合练]1．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积解析：选A假设a与b的夹角为θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sinθ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．2．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则AO·BC等于()A.32B.52C．2D．3解析：选BAO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，因为OA＝OB，所以AO在AB上的投影为12|AB|，所以AO·AB＝12|AB|·|AB|＝2，同理AO·AC＝12|AC|·|AC|＝92，故AO·BC＝92－2＝52.3．已知△ABC满足AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：选C由题意得，AB2＝AB·AC＋AB·CB＋CA·CB＝AB·(AC＋CB)＋CA·CB＝AB2＋CA·CB，∴CA·CB＝0，∴CA⊥CB，∴△ABC是直角三角形．44．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2解析：选DW＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.5．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上的两点，且|AB|＝5，则AC·CB＝________.解析：由弦长|AB|＝5，可知∠ACB＝60°，AC·CB＝－CA·CB＝－|CA||CB|cos∠ACB＝－52.答案：－526．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，判断△ABC的形状．解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．因为PD＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.同理，∠APB＝∠BPC＝120°.又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．7.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线．证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．令|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．∴各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．(1)∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.5(2)∵M为EC的中点，∴M0，12，∴MD＝(－1,1)－0，12＝－1，12，FC＝(1,0)－0，12＝1，－12.∵MD＝－FC，∴MD∥FC.又∵MD与FC有公共点M，∴D，M，B三点共线．6