搜索
-1-第二章数列测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3为()A.4B.C.D.2解析:由=a3·a9,得a3=4.答案:A2.数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),则a4等于()A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S10=120,则a1+a10的值是()A.12B.24C.36D.48解析:S10==120,解得,a1+a10=24.答案:B4.设an=-n2+10n+11,则数列{an}前n项的和最大时n的值为()A.10B.11C.10或11D.12解析:由an≥0,得-n2+10n+11≥0,即1≤n≤11.又a11=0,∴前10项或前11项和最大.答案:C5.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2,且S5=30,则S8=()A.31B.32C.33D.34解析:设等差数列{an}的公差为d,则有解得d=-,a1=,所以S8=8a1+d=8×+28×=32.答案:B-2-6.等比数列{an}的各项均为正,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为{an}的前n项和,则等于()A.2B.C.D.解析:设等比数列{an}的公比为q,则有q0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=,∴q=,∴=1+q3=1+.答案:C7.如果f(n+1)=(n=1,2,3,…),且f(1)=2,则f(101)等于()A.49B.50C.51D.52解析:∵f(n+1)==f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=,即数列{f(n)}是首项为2,公差为的等差数列.∴通项公式为f(n)=2+(n-1)×n+.∴f(101)=×101+=52.答案:D8.若数列{an}满足an+1=1-,且a1=2,则a2015等于()-3-A.-1B.2C.D.解析:∵an+1=1-,a1=2,∴a2=1-,a3=1-2=-1,a4=1-=2.由此可见,数列{an}的项是以3为周期重复出现的,∴a2015=a671×3+2=a2=.答案:D9.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列是等差数列,则a11等于()A.0B.C.D.-1解析:设数列{bn}的通项bn=,因为{bn}为等差数列,b3=,b7=,公差d=,∴b11=b3+(11-3)d=+8×,即得1+a11=,a11=.答案:B10.若数列{an}是等差数列,a10,a2009+a20100,a2009·a20100,则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是()A.4017B.4018C.4019D.4020解析:由a2009+a20100,a2009·a20100及a10得a20090,a20100且|a2009||a2010|,∴S4017==4017a20090,S4018=0,-4-S4019==4019a20100,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.数列{an}满足an=4an-1+3,a1=0,则此数列的第5项是.答案:25512.已知数列{an}中,an=2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn=.解析:易知数列{an}是等比数列,∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为6,公比为9.∴新数列前n项和Sn=.答案:13.有三个数成等比数列,其和为21,若第三个数减去9,则它们成等差数列,这三个数分别是.解析:设三个数为a,b,c,由题意可知解得b=4,a=1,c=16或b=4,a=16,c=1.答案:16,4,1或1,4,1614.已知an=2n-1(n∈N*),把数列{an}的各项排成如图所示的三角数阵,记S(m,n)表示该数阵中第m行中从左到右的第n个数,则S(10,6)对应数阵中的数是.135791113151719……解析:设S(10,6)是数列{an}中的第M个数,则M=1+2+3+…+9+6=+6=51,∴S(10,6)=a51=2×51-1=101.答案:10115.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+…+f(2009)+f+f+…+f=.-5-解析:f(n)+f==1(n=2,3,4,…).又f(1)=,∴f(1)+f(2)+…+f(2009)+f+f+…+f=f(1)++…+=f(1)+2008=2008.5.答案:2008.5三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.解:(1)设{an}的公差为d.由题意,=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d),于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.17.(6分)数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式an.(1)证明:由已知可得,-6-即+1,即=1.∴数列是公差为1的等差数列.(2)解:由(1)知+(n-1)×1=n+1,∴an=.18.(6分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).(1)求数列{an}的通项公式;(2)当bn=lo(3an+1)时,求证:数列的前n项和Tn=.(1)解:由已知(n≥2),得an+1=an(n≥2).∴数列{an}是以a2为首项,以为公比的等比数列.又a2=S1=a1=,∴an=a2×(n≥2).∴an=(2)证明:bn=lo(3an+1)=lo=n.-7-∴.∴Tn=+…++…+=1-.19.(7分)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*.(1)求a1,a2,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和.解:(1)令n=1,得2a1-a1=,即a1=.因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n≥2时,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1两式相减得2an-2an-1=an,即an=2an-1.于是数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列.因此an=2n-1.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知,nan=n·2n-1.记数列{n·2n-1}的前n项和为Bn,于是Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.②①-②得-Bn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n.从而Bn=1+(n-1)·2n.