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-1-第二章数列测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14解析:由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.故选B.答案:B2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列解析:根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则am,ak,an成等比数列,故选D.答案:D3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14解析:因为S3=3a1+d=3×2+d=12,所以d=2.所以a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C.答案:C4.设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=()A.2B.-2C.D.-解析:由题意知=S1·S4,则(a1+a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.故选D.答案:D5.设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()A.d0B.d0C.a1d0D.a1d0解析:∵{}为递减数列,∴1.-2-∴a1d0.故选D.答案:D6.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.解析:∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴Sn=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.答案:A7.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64解析:∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.答案:C8.等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.-C.D.-解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.答案:C9.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2解析:由S8=4a3知:a1+a8=a3,a8=a3-a1=2d=a7+d,所以a7=d=-2.所以a9=a7+2d=-2-4=-6.答案:A-3-10.已知等比数列{an}的公比为q,记bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是()A.数列{bn}为等差数列,公差为qmB.数列{bn}为等比数列,公比为q2mC.数列{cn}为等比数列,公比为D.数列{cn}为等比数列,公比为解析:∵{an}是等比数列,∴=qmn+m-m(n-1)-m=qm,∴=(qm)m=.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.解析:设数列{an}的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d,由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)·(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,∴d=-1,则a1+1=a3+3,故q=1.答案:112.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.解析:设公比为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4.答案:413.等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.解析:由等比数列性质知a1a5=a2a4==4.∵an0,∴a3=2,∴a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2·a4)·a3=25,∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.答案:514.数列{an}满足an+1=,a11=2,则a1=.-4-解析:由a11=2及an+1=,得a10=.同理a9=-1,a8=2,a7=,…所以数列{an}是周期为3的数列.所以a1=a10=.答案:15.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.解析:由题意知当d0时,Sn存在最大值,∵a1=70,∴数列{an}中所有非负项的和最大.又∵当且仅当n=8时,Sn取最大值,∴解得-1d-.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.(1)求an;(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)设{an}的公比为q,依题意,得解得因此,an=3n-1.(2)因为bn=log3an=n-1,所以数列{bn}的前n项和Sn=.17.(6分)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.-5-(1)解:由Sn=,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,所以数列{an}的通项公式为:an=3n-2.(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时m∈N*,且mn.所以对任意的n1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.18.(6分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解:(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以{an}的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知,则Sn=+…+,Sn=+…+.两式相减,得Sn=.所以Sn=2-.19.(7分)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.-6-解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.(2)由题意知bn==n(n+1),所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),可得当n为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)=4+8+12+…+2n=,当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-.所以Tn=