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-1-2.2.2事件的独立性首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.了解两个事件相互独立的概念,掌握相互独立事件的概率公式,并能利用公式解决简单问题.2.通过相互独立事件及其概率的计算,体会相互独立事件的概率在实际生活中的应用.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二一、两个事件相互独立JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二思考1若两个事件相互独立是否就说明这两个事件间没有任何关系?提示:两个事件A,B相互独立是指事件A是否发生与事件B是否发生没有关系,并不是说事件A,B间没有关系.相反,若事件A,B相互独立,则常有事件AB≠⌀,即事件A,B不互斥.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二思考2相互独立事件与互斥事件有什么区别?提示:相互独立事件与互斥事件的区别如下表:相互独立事件互斥事件条件不同相互独立的两个事件是在两次试验中得到的互斥的两个事件是一次试验中的两个事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生,即AB=⌀概率公式A与B相互独立等价于P(AB)=P(A)·P(B)若A与B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B),反之不成立JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二总结:已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则有事件表示概率A,B恰有一个发生(AB)∪(AB)P(A)P(B)+P(A)·P(B)A,B中至少有一个发生(AB)∪(AB)∪(AB)P(A)P(B)+P(A)·P(B)+P(A)P(B)A,B中至多有一个发生(AB)∪(AB)∪(AB)P(A)P(B)+P(A)·P(B)+P(A)P(B)JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二二、n个事件相互独立1.对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称A1,A2,…,An相互独立.2.如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)×P(A2)×…×P(An),并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一相互独立事件的判断判定相互独立事件的方法:(1)若P(A∩B)=P(A)×P(B),则A,B相互独立,即如果A,B同时成立时的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积,则可得出事件A,B为相互独立事件.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)在实际问题中,判断事件的独立性往往凭经验或借助直观的方法,而不需要通过P(A∩B)=P(A)×P(B)验证.如有放回的两次抽奖,掷5次同一枚硬币,两人射击等,由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响,从而得出是否相互独立.但对条件较复杂的情形,如甲、乙是地球上两个不同点,“甲地地震”与“乙地地震”就不能轻易判定为相互独立,因为它们可能存在某种内在联系,对这类事件的独立性,需要依据公式P(A∩B)=P(A)×P(B)来判断.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题1】判断下列各对事件是不是相互独立事件:(1)甲组3名男生、2名女生,乙组2名男生、3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;(3)一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”.思路分析:由题目可获取以下主要信息:(1)给出各对事件共三组;(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件.解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响,再判断两个事件是否相互独立.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:(1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以二者是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为58,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为47;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为57.可见,前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.(3)由于把取出的苹果又放回筐内,故对“从中任意取出1个,取出的是梨”的概率没有影响,所以二者是相互独立事件.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二求相互独立事件的概率解决相互独立事件同时发生的概率问题,首先应确定各事件之间是相互独立的,确定这些事件可以同时发生,其次求出每个事件发生的概率,最后根据相互独立事件的概率计算公式求解.【典型例题2】高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率:语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,求:(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少?(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少?思路分析:先明确已知事件间的关系,再把所求事件的概率表示成已知事件的概率,最后选择公式计算.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三解:分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A,B,C,则A,B,C两两相互独立,且P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用𝐴𝐵𝐶表示,P(𝐴𝐵𝐶)=P(𝐴)P(𝐵)P(𝐶)=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003,即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(𝐴BC)∪(A𝐵C)∪(AB𝐶)表示.由于事件𝐴BC,A𝐵C和AB𝐶两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式,所求的概率为P(𝐴BC)+P(A𝐵C)+P(AB𝐶)=P(𝐴)P(B)P(C)+P(A)P(𝐵)P(C)+P(A)P(B)·P(𝐶)=[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)]=(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85)=0.329,即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点:不能正确区分相互独立事件与互斥事件而致误【典型例题3】设甲、乙两名射手独立地对同一目标进行射击,各射击一次,他们击中目标的概率分别为0.9,0.8,求在一次射击中,目标被击中的概率.错解:设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,甲、乙两人中至少有一人击中目标为事件C.因为C=A∪B,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=1.7.错因分析:因为甲、乙两名射手独立射击同一目标,所以事件A与B是两个独立事件.错解中运用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)是误认为A,B是两个互斥事件.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解一:设甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,甲、乙两人中至少有一人击中目标为事件C.因为A,B是相互独立事件,所以A与𝐵,𝐴与B也是相互独立事件,所以P(C)=P(A𝐵)+P(𝐴B)+P(AB)=P(A)·P(𝐵)+P(𝐴)·P(B)+P(A)·P(B)=0.9×(1-0.8)+(1-0.9)×0.8+0.9×0.8=0.98.正解二:P(C)=1-P(𝐶)=1-P(𝐴𝐵)=1-P(𝐴)·P(𝐵)=1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-0.1×0.2=0.98.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,用B表示“第二次摸到白球”,则A与B是()A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.非相互独立事件解析:根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知,A与B为非相互独立事件.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为()A.p+q-2pqB.p+q-pqC.p+qD.pq答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都不下雨的概率为.解析:设甲地下雨为事件A,乙地下雨为事件B,P(𝐴·𝐵)=[1-P(A)][1-P(B)]=0.7×0.6=0.42.答案:0.42SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球、2个白球,乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球,则取出的两球都是红球的概率为.(答案用分数表示)解析:从甲袋中取出一个红球的概率为46=23,从乙袋中取出一个红球的概率为16,故取出的两个球都是红球的概率为23×16=19.答案:19SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,假设他们破译密码是彼此独立的,试求此密码被破译的概率.解:用A,B,C分别表示三人破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,且P(𝐴𝐵𝐶)=P(𝐴)P(𝐵)P(𝐶)=45×23×34=25.所以此密码被破译出的概率为1-25=35.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点