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-1-2.3随机变量的数字特征-2-2.3.1离散型随机变量的数学期望首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.理解离散型随机变量的数学期望的概念.2.会根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的数学期望.3.掌握离散型随机变量的数学期望的性质及二点分布与二项分布的数学期望公式.4.能运用离散型随机变量的数学期望解决一些简单的实际问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二一、期望一般地,设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1,x2,…,xn,这些值对应的概率是p1,p2,…,pn,则E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二二、常见的数学期望1.若离散型随机变量X服从参数为p的二点分布,则E(X)=p.2.若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布,则E(X)=np.3.若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=𝑛𝑀𝑁.点拨离散型随机变量的数学期望的性质若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的数学期望等于这个随机变量的数学期望E(X)的同一线性函数.特别地:(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的数学期望就是这个常数本身.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的数学期望等于X的数学期望与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的数学期望等于这个常数与随机变量的数学期望的乘积.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一求离散型随机变量的数学期望解决求离散型随机变量的数学期望问题的关键是求出分布列,只要求出离散型随机变量的分布列,就可以套用数学期望的公式求解.对于aX+b型随机变量的数学期望,可以利用数学期望的性质求解,也可以求出aX+b的分布列,再用定义求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题1】甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.思路分析:(1)利用相互独立事件的概率求解.(2)先列出X的所有值,并求出每个X值所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1,“甲队以3∶1胜利”为事件A2,“甲队以3∶2胜利”为事件A3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P(A1)=233=827,P(A2)=C322321-23×23=827,P(A3)=C422321-232×12=427.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827,以3∶2胜利的概率为427.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P(A4)=C421-232232×1-12=427.由题意,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=1627,又P(X=1)=P(A3)=427,P(X=2)=P(A4)=427,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=327.故X的分布列为X0123P1627427427327所以E(X)=0×1627+1×427+2×427+3×327=79.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二特殊分布的数学期望解决此类问题,首先应依据二项分布、二点分布及超几何分布的特点,判断随机变量属于哪一种分布,再写出随机变量的分布列,然后利用特殊分布的数学期望公式求解.【典型例题2】某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12,且各棵大树是否成活互不影响.求移栽的4棵大树中:(1)两种大树各成活1棵的概率;(2)成活的棵数ξ的分布列与数学期望.思路分析:本题主要考查独立重复试验和分布列的应用,求解时可由二项分布求数学期望.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:设Ak表示甲种大树成活k棵,k=0,1,2,Bl表示乙种大树成活l棵,l=0,1,2,则Ak,Bl(k,l=0,1,2)相互独立,由独立重复试验中事件发生的概率公式,得P(Ak)=C2𝑘×23𝑘×132-𝑘,P(Bl)=C2𝑙×12𝑙×122-𝑙.据此算得:P(A0)=19,P(A1)=49,P(A2)=49,P(B0)=14,P(B1)=12,P(B2)=14.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(1)所求概率为P(A1B1)=P(A1)P(B1)=49×12=29.(2)(方法1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)=P(A0B0)=19×14=136,P(ξ=1)=P(A0B1)+P(A1B0)=19×12+49×14=16,P(ξ=2)=P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=19×14+49×12+49×14=1336,P(ξ=3)=P(A1B2)+P(A2B1)=49×14+49×12=13,P(ξ=4)=P(A2B2)=49×14=19.综上知ξ的分布列为ξ01234P1361613361319从而,ξ的数学期望为E(ξ)=0×136+1×16+2×1336+3×13+4×19=73(棵).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(方法2)分布列的求法同方法1,令ξ1,ξ2分别表示甲、乙两种大树成活的棵数,则ξ1~B2,23,ξ2~B2,12,所以E(ξ1)=2×23=43(棵),E(ξ2)=2×12=1(棵),所以E(ξ)=E(ξ1)+E(ξ2)=43+1=73(棵).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三期望的应用解决数学期望的应用问题,首先应把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件发生的可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的数学期望,随机变量的数学期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平.在实际问题的决策中,往往把数学期望最大的方案作为最佳方案进行选择.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题3】某公司准备将100万元资金投入代理销售业务,现有A,B两个项目可供选择:①投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的分布列如下表所示:X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)=12.②投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关,B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整,两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1-p.经专家测算评估:B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示:X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(1)求a,b的值.(2)求X2的分布列.(3)若E(X1)E(X2),则选择投资B项目,求此时p的取值范围.思路分析:(1)由分布列的性质及数学期望的计算公式列方程组求解.(2)利用相互独立事件同时发生的概率求解.(3)利用数学期望公式列出不等式求解.解:(1)由题意得𝑎+0.4+𝑏=1,11𝑎+12×0.4+17𝑏=12,解得a=0.5,b=0.1.(2)X2的可能取值为4.12,11.76,20.40.P(X2=4.12)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p),P(X2=11.76)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2,P(X2=20.40)=p(1-p).所以X2的分布列为X24.1211.7620.40Pp(1-p)p2+(1-p)2p(1-p)ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(3)由(2)可得E(X2)=4.12p(1-p)+11.76[p2+(1-p)2]+20.40p(1-p)=-p2+p+11.76.因为E(X1)E(X2),所以12-p2+p+11.76.所以0.4p0.6.当选择投资B项目时,p的取值范围是(0.4,0.6).ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:对随机变量X取值的意义理解错误而致误【典型例题4】某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验;若试验失败,则再重新试验一次;若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为23,且各次试验互不影响.求此人试验次数X的数学期望.错解:试验次数X的可能取值为X=1,2,3,P(X=1)=23,P(X=2)=13×23=29,P(X=3)=13×13×23=227,所以X的概率分布如下表所示X123P2329227所以E(X)=1×23+2×29+3×227=43.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四错因分析:错误的主要原因是没有明确随机变量X的取值意义,X=1表示一次试验就成功,X=2表示第一次失败,第二次成功,由于试验最多进行3次,所以X=3表示前两次失败,第三次可能成功也可能失败,所以P(X=3)=13×13×23+13=19.因此,在求随机变量取各值的概率时,务必理解各取值的实际意义,以免出错.正解:试验次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=23,P(X=2)=13×23=29,P(X=3)=13×13×23+13=19.所以X的分布列为X123P232919所以E(X)=1×23+2×29+3×19=139.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.已知随机变量X的分布列如下表,随机变量X的数学期望E(X)=1,则x的值为()X012P0.4xyA.0.3B.0.24C.0.4D.0.2解析:因为E(X)=1,所以