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-1-2.3.2离散型随机变量的方差首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.2.会求离散型随机变量的方差、标准差.3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习离散型随机变量的方差JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习思考1离散型随机变量的数学期望满足E(aξ+b)=aE(ξ)+b,方差是否也满足式子D(aξ+b)=aD(ξ)+b?提示:方差公式为D(aξ+b)=a2D(ξ),不满足式子D(aξ+b)=aD(ξ)+b.思考2若随机变量X服从二点分布,则其方差D(X)的值为多少,能否利用基本不等式求方差的最大值?提示:二点分布的方差为D(X)=p(1-p),由式子可得p(1-p)≤𝑝+(1-𝑝)22=14,故能用基本不等式求方差的最大值.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习归纳总结离散型随机变量ξ的期望与方差名词数学期望方差定义E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpnD(ξ)=(ξ1-E(ξ))2p1+(ξ2-E(ξ))2p2+…+(ξn-E(ξ))2pn性质(1)E(a)=a(a为常数)(2)E(aξ)=aE(ξ)(3)E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a,b为常数)(4)若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np(1)D(a)=0(a为常数)(2)D(aξ)=a2D(ξ)(3)D(aξ+b)=a2D(ξ)(a,b为常数)(4)若ξ~B(n,p),则D(ξ)=npq(p+q=1)数学意义E(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值D(ξ)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一求离散型随机变量的方差解决求离散型随机变量的方差问题,首先要理解随机变量X的意义,写出X可能取的全部值,其次求出X每个取值对应的概率,列出分布列,然后由期望的定义求出E(X),最后由方差计算公式求出D(X).【典型例题1】某校从6名学生会干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者.(1)所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及方差.(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.思路分析:(1)先求出ξ的分布列,再求期望,再利用方差公式求出方差.(2)利用条件概率或用古典概型概率公式求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)ξ的可能取值为0,1,2.由题意P(ξ=0)=C43C63=15,P(ξ=1)=𝐶42𝐶21C63=35,P(ξ=2)=𝐶41𝐶22C63=15,所以ξ的分布列为ξ012P153515E(ξ)=0×15+1×35+2×15=1,D(ξ)=(0-1)2×15+(1-1)2×35+(2-1)2×15=25.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四(2)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为C,“男生甲被选中”包含的基本事件数为C52=10,“男生甲被选中,女生乙也被选中”包含的基本事件数为C41=4,所以P(C)=C41C52=410=25.故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为25.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二离散型随机变量方差的性质及运算1.简化运算:当求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果服从,则用公式求解,可大大减少运算量.2.性质应用:注意利用E(aξ+b)=aE(ξ)+b及D(aξ+b)=a2D(ξ)求期望与方差.【典型例题2】袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一个,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差.(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.思路分析:(1)先求出ξ的分布列,再利用公式求出期望与方差.(2)通过ξ与η的线性关系表示出E(η),D(η),列方程组求解.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)ξ的分布列为ξ01234P1212011032015所以E(ξ)=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5,D(ξ)=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.所以𝑎=2,𝑏=-2或𝑎=-2,𝑏=4即为所求.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三方差的实际应用离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平,而方差反映了随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度,因此在实际决策问题中,通常需先计算期望,比较一下谁的平均水平高,然后再计算方差,分析一下谁的稳定性较好,因此在利用期望和方差的意义去分析解决实际问题时,两者都要考虑.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四【典型例题3】有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两个建材厂进行抽样检查,他们从中各取等量的样品进行检查,得到它们的抗拉强度指数如下:X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分别表示甲、乙两厂钢筋的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120,比较说明甲、乙两厂的钢筋哪一种稳定性较好.思路分析:要比较两种钢筋的质量,可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度,即期望,然后比较这两种钢筋质量的稳定性,即方差.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(X)=(110-125)2×0.1+(120-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(135-125)2×0.2=50,D(Y)=(100-125)2×0.1+(115-125)2×0.2+(125-125)2×0.4+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.由E(X)=E(Y),可知甲、乙两厂的钢筋的平均抗拉强度是相等的,且平均抗拉强度都不低于120,但由于D(X)D(Y),即乙厂的钢筋的抗拉强度与其平均值偏差较大,故可认为甲厂的钢筋的质量稳定性较好.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析易错点:用错公式而致误【典型例题4】已知随机变量X的概率分布如下表所示:X-101P121316求E(X),D(X),𝐷(𝑋)的值.错解:E(X)=x1p1+x2p2+x3p3=-1×12+0×13+1×16=-13,D(X)=(x1-E(X))p1+(x2-E(X))p2+(x3-E(X))p3=-1+13×12+0+13×13+1+13×16=0,所以𝐷(𝑋)=0.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四错因分析:错误的原因是在利用方差的定义求解时,把(xi-E(X))2pi中(xi-E(X))2的平方漏掉了.正解:E(X)=x1p1+x2p2+x3p3=-1×12+0×13+1×16=-13,D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+(x3-E(X))2p3=-1+132×12+0+132×13+1+132×16=59,所以𝐷(𝑋)=59=53.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12341.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)kp1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是()A.0和1B.p和p2C.p和1-pD.1-p和p(1-p)解析:随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)kp1-k(k=0,1),则P(X=0)=p,P(X=1)=1-p,所以X服从二点分布,故E(X)=0×p+1×(1-p)=1-p,D(X)=p(1-p).答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12342.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别是()A.n=100,p=0.08B.n=20,p=0.4C.n=10,p=0.2D.n=10,p=0.8解析:由于X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,所以np=8,np(1-p)=1.6,解之,得n=10,p=0.8.答案:DSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12343.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a=,b=.X-1012Pabc112解析:由题知a+b+c=1112,-a+c+16=0,12×a+12×c+22×112=1,解得a=512,b=14.答案:51214SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12344.(2014江苏启东高二期中考试)学校举行定点投篮比赛,规定每人投篮4次,投中一球得2分,没有投中得0分,假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是13,小强每次投篮投中的概率都是p(0p1).(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率;(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望;(3)小强投篮4次,投中的次数为X,若期望E(X)=1,求p和X的方差D(X).解:(1)设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件A,事件A说明小明前两次未投中,第三次投中,所以P(A)=1-132×13=427.故小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为427.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1234(2)小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0,2,4,6,8.P(ξ=0)=1-134=1681,P(ξ=2)=C411-133×13=3281,P(ξ=4)=C421-132×132=2481=827,P(ξ=6)=C43