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-1-2.4正态分布首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习课程目标学习脉络1.通过实例,借助于直观,认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则,会求正态变量在特殊区间内的概率.2.通过本节的学习,体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二一、正态分布与正态曲线如果随机变量X的概率密度函数为f(x)=12π·σe-(𝑥-𝜇)22𝜎2(x∈R,μ,σ为参数,且σ0,-∞μ+∞),称X服从参数为μ,σ的正态分布,用X~N(μ,σ2)表示,f(x)的图象简称为正态曲线,例如当μ=0,σ=0.5,1,2时,所表示的曲线如图所示.若X~N(μ,σ2),则X的期望与方差分别为E(X)=μ,D(X)=σ2.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二思考正态变量的概率密度函数解析式中参数μ,σ分别表示随机变量取值的哪一个数字特征?提示:μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二二、正态曲线的性质1.曲线在x轴的上方,并且关于直线x=μ对称.2.曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状.3.曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.4.当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ所决定.设X是一个按正态分布的随机变量,则对任意的数a0及b,aX+b仍是一个按正态分布的随机变量.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习一二5.3σ原则.从理论上可以证明,正态变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内,取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在(-∞,+∞)内取值的概率是1,容易推出,它在区间(μ-2σ,μ+2σ)之外取值的概率是4.6%,在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一正态分布的概念与正态曲线解决此类问题要正确理解正态分布的概念及正态密度函数解析式的特点.(1)用待定系数法求正态变量的概率密度曲线的函数表达式,关键是确定参数μ和σ的值,并注意函数的形式.(2)当x=μ时,正态变量的概率密度函数取得最大值,即f(μ)=12πσ为最大值,并注意该式在解题中的应用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题1】如图所示的是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态变量的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差.思路分析:给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式.解:从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是12π,所以μ=20,12π·σ=12π,则σ=2.所以概率密度函数的解析式是f(x)=12π·e-(𝑥-20)24,x∈(-∞,+∞).总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=(2)2=2.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二正态分布中的概率计算解决正态分布概率求解问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,并结合正态分布的3σ原则求解.【典型例题2】在某项测量中,测量结果服从正态分布X~N(1,4),求正态总体X在(-1,1)内取值的概率.思路分析:解答本题可先求出X在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半.解:由题意得μ=1,σ=2,所以P(-1X3)=P(1-2X1+2)=0.683.又因为正态曲线关于x=1对称,所以P(-1X1)=P(1X3)=12P(-1X3)=0.3415.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三正态分布的应用正态总体在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3%的性质,在实际生产中有比较广泛的应用.我们只要知道了正态分布的平均数μ和标准差σ,利用这个性质,就可以判断哪些情况是异常出现的小概率事件(在生产中一般指生产过程出现了问题,没有正常工作),3σ原则应用的基本步骤可分为三步.一是提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布N(μ,σ2);二是确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);三是作出判断,如果a∈(μ-3σ,μ+3σ),则接受统计假设,如果a∉(μ-3σ,μ+3σ),则拒绝统计假设.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三【典型例题3】已知某车间正常状态下生产的某种零件的尺寸服从正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件,测量得到它们的尺寸如下:27.3427.4927.5527.2327.4027.4627.3827.5827.5427.68请你根据正态分布的3σ原则,帮助质量检验员确定哪些零件应该判定为非正常状态下生产的.思路分析:利用正态变量在区间(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率是99.7%,零件尺寸落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内则正常,否则不正常.解:由题意知μ=27.45,σ=0.05.因为正态变量在区间(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率是99.7%,所以我们认为尺寸落在区间(27.45-3×0.05,27.45+3×0.05)外的零件是非正常状态下生产的,即尺寸为27.23和27.68的零件不符合落在区间(27.45-3×0.05,27.45+3×0.05)内这一条件,所以可判断它们是在非正常状态下生产的.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.下列是关于正态曲线的性质的叙述:①曲线关于直线x=μ对称,这个曲线在x轴上方;②曲线关于直线x=μ对称,这个曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才有意义;③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的概率密度函数是一个偶函数;④曲线在x=μ时,处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低;⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;⑥σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”.上述说法中正确的是()A.①④⑤⑥B.②④⑤C.③④⑤D.①⑤⑥SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12345解析:根据正态曲线的性质可知,正态曲线是一条关于直线x=μ对称的曲线,在x=μ时处于最高点,函数取得最大值,并由该点向左、向右无限延伸时逐渐降低,曲线总位于x轴上方,即函数值总为正,曲线的形状由σ确定,而且比较若干不同的σ对应的正态曲线可以发现,σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.μ决定曲线的位置和对称性.答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.在正态分布N(0,1)中,在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率分别为p1和p2,则p1与p2的关系为()A.p1p2B.p1p2C.p1=p2D.不确定解析:由正态分布N(0,1)可知μ=0,σ=1,所以-2=-2σ,2=2σ,-1=-σ,1=σ.所以(-2,-1)=(-2σ,-σ),(1,2)=(σ,2σ),由曲线的对称性可知p1=p2.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比为.解析:因为月收入服从正态分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520,所以月均收入在(480,520)范围内的概率为0.683.由图象的对称性可知,月收入在(480,500)和(500,520)的概率相等,因此,此县农民月均收入在500到520元间人数的百分比为34.15%.答案:34.15%SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.某种零件的尺寸ξ(cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的.解析:零件尺寸属于区间(μ-2σ,μ+2σ),即零件尺寸在(1,5)内取值的概率为95.4%,故零件尺寸不属于区间(1,5)内的概率为1-95.4%=4.6%.答案:4.6%SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123455.设X~N(5,1),求:(1)P(6X7);(2)P(X≥8).解:(1)由已知μ=5,σ=1.因为P(4X6)=0.683,P(3X7)=0.954,所以P(3X4)+P(6X7)=0.954-0.683=0.271.如图:由正态曲线的对称性可得P(3X4)=P(6X7),所以P(6X7)=0.2712=0.1355.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12345(2)因为μ=5,σ=1,所以P(μ-3σXμ+3σ)=0.997,即P(2X8)=0.997,所以P(X≤2)+P(X≥8)=1-0.997=0.003.又P(X≤2)=P(X≥8),所以P(X≥8)=0.0032=0.0015.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点