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-1-2.2.3直线与平面平行的性质首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.理解并能证明直线与平面平行的性质定理,明确定理的条件.2.能利用性质定理解决有关的平行问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行图形语言符号语言a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b作用证明两条直线平行JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习名师点拨(1)该性质定理是得到两直线平行的一个方法.即线面平行的判定定理与性质定理体现了线线平行与线面平行的相互转化.(2)若直线a∥平面α,在平面α内找到一条直线b,使b∥a的作法是:经过已知直线a作一个平面和已知平面α相交,则交线和已知直线a平行,此交线就是要找的直线b.(3)该定理有三个条件:①直线a与平面α平行,即a∥α;②平面α,β相交于一条直线,即α∩β=b;③直线a在平面β内,即a⊂β.三个条件缺一不可.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习做一做如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则()A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能解析:∵平面SBC∩平面ABC=BC,又∵EF∥平面ABC,∴EF∥BC.答案:BZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究一直线与平面平行性质定理的应用1.利用线面平行的性质定理解题的步骤2.在已知条件中有线面平行时,就设法应用该条件,即着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,也就是找已知直线的平行线.有时为了得到交线还需作出辅助平面,而且证明与平行有关的问题时,常与公理4等结合起来使用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三典型例题1如图,AB,CD为异面直线,且AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点.求证:AM∶MC=BN∶ND.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三证明:连接AD交平面α于点E,连接ME和NE.如图所示,∵平面ACD∩α=ME,CD∥α,∴CD∥ME,∴𝐴𝑀𝑀𝐶=𝐴𝐸𝐸𝐷.同理可得EN∥AB,∴𝐴𝐸𝐸𝐷=𝐵𝑁𝑁𝐷.∴𝐴𝑀𝑀𝐶=𝐵𝑁𝑁𝐷.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,求证:AB∥GH.证明:∵E,F分别是AA1和BB1的中点,∴EF∥AB.又AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,∴AB∥GH.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究二线面平行性质定理与判定定理的综合应用利用线面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:线线平行线面平行线线平行ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三典型例题2求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么该直线与相交平面的交线平行.解:已知:a,l是直线,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求证:a∥l.证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A∉l.∵a∥α,∴A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.同理,在平面β内任取一点B,且使B∉l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.∵a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,则m∥n.又m⊄β,n⊂β,∴m∥β.又∵m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练2若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.解:三条直线l,m,n相互平行,证明如下:如图,∵l∥m,m⊂γ,l⊄γ,∴l∥γ.又l⊂α,α∩γ=n,∴l∥n.又∵l∥m,∴m∥n,即直线l,m,n相互平行.探究一探究二探究三ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究三易错辨析易错点考虑问题不全面导致漏解典型例题3已知BC∥平面α,D在线段BC上,A∉α,直线AB,AC,AD分别交α于点E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长.错解:如图,AB∩AC=A,由AB,AC确定平面β,所以BC⊂β,α∩β=EG.因为BC∥平面α,所以BC∥EG.在△AEG中,𝐴𝐷𝐴𝐹=𝐴𝐶𝐴𝐺=𝐵𝐶𝐸𝐺,所以𝐴𝐷𝐴𝐹=𝐵𝐶𝐸𝐺,即𝑏𝑏+𝑐=𝑎𝐸𝐺.所以EG=𝑎(𝑏+𝑐)𝑏.错因分析:点A的位置有三种情况:BC在A与α之间;A在BC与α之间;α在A与BC之间,错解中只考虑了第一种情况.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三正解:(1)当BC位于点A与平面α之间时,同错解.(2)当点A在BC与平面α之间时,如图,因为BC∥平面α,同理有BC∥EG,𝐴𝐷𝐴𝐹=𝐵𝐶𝐸𝐺,即𝑏𝑐-𝑏=𝑎𝐸𝐺,所以EG=𝑎(𝑐-𝑏)𝑏.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三(3)当点A和BC位于平面α两侧时,如图.同理有BC∥EG,𝐴𝐷𝐴𝐹=𝐵𝐶𝐸𝐺,即𝑏𝑏-𝑐=𝑎𝐸𝐺,∴EG=𝑎(𝑏-𝑐)𝑏.综上所述,EG的长为𝑎(𝑏+𝑐)𝑏或𝑎(𝑐-𝑏)𝑏或𝑎(𝑏-𝑐)𝑏.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12341.如图所示,过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1,则BB1与EE1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:∵BB1∥CC1,BB1⊄平面CDD1C1,CC1⊂平面CDD1C1,∴BB1∥平面CDD1C1.又BB1⊂平面BEE1B1,平面BEE1B1∩平面CDD1C1=EE1,∴BB1∥EE1.答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12342.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面解析:∵a∥α,∴a与这些直线无公共点.若a与它们平行,∵a∥b,则b与它们平行,这与b与它们相交矛盾.∴a与它们异面.答案:CSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12343.如果一条直线和一个平面平行,两端点分别在直线和平面上的两线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是.答案:相交、平行或异面SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12344.如图所示,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F.求证:四边形BCFE是梯形.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点1234证明:∵四边形ABCD是矩形,∴BCAD.∵AD⊂平面APD,BC⊄平面APD,∴BC∥平面APD.又∵平面BCFE∩平面APD=EF,BC⊂平面BCFE,∴BC∥EF.∴AD∥EF.又∵E,F是△APD边上的点,∴EF≠AD.∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点