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-1-2.2.4平面与平面平行的性质A组1.a∥α,b∥β,α∥β,则a与b的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行或异面或相交解析:如图①②③,a与b的关系分别是平行、异面或相交.答案:D2.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线解析:由直线a与点B确定一个平面,记为γ,设γ∩β=b,∵α∥β,a⊂α,∴a∥β.∴a∥b.只有此一条.答案:D3.设平面α∥平面β,点A∈α,点B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C()A.不共面B.不论点A,B如何移动,都共面C.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面D.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面解析:动点C移动的轨迹一定是在平面α与β之间且与它们等距离的一个平面.答案:B-2-4.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是()A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b解析:选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a与b相交,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言,故选D.答案:D5.下列说法正确的是()A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行D.若三直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行解析:平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以A错;B正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,不正确;D不正确,因为过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行.答案:B6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.解析:因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.答案:l∥A1C17.如图所示,已知A,B,C,D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,则四边形EFHG的形状是.-3-解析:平面ADC∩α=EF,且CD∥α,得EF∥CD;同理可证GH∥CD,EG∥AB,FH∥AB.∴GH∥EF,EG∥FH.∴四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别是AC,A1C1上的点,若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.解:连接A1B,交AB1于点O,连接D1O.由题意知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.∴.又∵=1,∴=1,即=1.9.如图所示的一块四棱柱木料ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是梯形,且CD∥AB.(1)要经过面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线之间有什么位置关系?解:-4-(1)如图所示,连接D1P并延长交A1B1于E,过E作EF∥AA1交AB于F,连接DF,则D1E,EF,FD就是应画的线.(2)∵DD1∥AA1,EF∥AA1,∴D1D∥EF.∴D1D与EF确定一个平面α.又∵平面AC∥平面A1C1,α∩平面AC=DF,α∩平面A1C1=D1E,∴D1E∥DF.显然DF,D1E都与EF相交.B组1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是()A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,则BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.答案:C2.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面-5-解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1∥BB1,A1D∩A1B=A1,AD1与A1B是异面直线.故选D.答案:D3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是()A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆解析:∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1,则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).答案:C4.已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题:①若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β;②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β;③若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β;④若a⊂α,a∥β,α∩β=b,则a∥b.其中正确命题的序号是.解析:①③中,α与β都可能相交,正确的是②④.答案:②④5.-6-如图,ABCD与A1B1C1D1是四棱台的上、下底面,那么AC和A1C1的位置关系是.解析:A1A和CC1延长后相交,AC和A1C1分别是平面AA1C1C与下、上底面交线,因为棱台上、下底面平行,所以AC∥A1C1.答案:平行6.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=.解析:由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',.答案:7.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E、F、G分别为PC、PD、CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.证明:在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB,∴AP∥平面EFG.8.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条异面直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,已知AB=2cm,BC=3cm,DE=4cm,求EF的长.-7-解:如图所示,连接AF交平面β于点G,连接CF,BG,EG,AD.∵AC∩AF=A,∴直线AC和AF确定一个平面AFC,则平面AFC∩β=BG,平面AFC∩γ=CF.又β∥γ,∴BG∥CF.∴.同理可证,∴.∴.∴EF=6cm.