搜索
-1-2.2.4平面与平面平行的性质首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.理解并能证明两个平面平行的性质定理.2.能利用性质定理解决有关的平行问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行图形语言符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b作用证明两条直线平行JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习名师点拨1.平面与平面平行的性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个:①α∥β;②α∩γ=a;③β∩γ=b.三者缺一不可.(2)定理的实质是由面面平行得线线平行,其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面,由其结论可知该定理可用来证明线线平行.2.平面与平面平行的性质(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.(2)平行于同一个平面的两个平面平行.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习做一做若α∥β,a⊂α,b⊂β,下列几种说法中正确的是()①a∥b;②a与β内无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不垂直;④a∥β.A.①②B.②④C.②③D.①③④解析:②④正确.答案:BJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习判一判正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线b⊂平面α,直线a∥直线b⇒直线a∥平面α.()(2)直线a∥平面α,直线b⊂平面α⇒直线a∥直线b.()(3)直线a∥平面β,直线b∥平面β,a⊂平面α,b⊂平面α⇒平面α∥平面β.()(4)平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面β∩平面γ=直线b⇒直线a∥直线b.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)√ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究一证明两直线平行常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的,它们的联系如下:ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二证明线线平行的方法.(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.(3)线面平行的性质定理:𝑎∥𝛼𝑎⊂𝛽𝛼⋂𝛽=𝑏⇒a∥b,应用时题目条件中需有线面平行.(4)面面平行的性质定理:𝛼∥𝛽𝛼⋂𝛾=𝑎𝛽⋂𝛾=𝑏⇒a∥b,应用时题目条件中需有面面平行或证得两平面平行.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二典型例题1如图,已知α∥β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二(1)证明:∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)解:由(1)得AC∥BD,∴𝑃𝐴𝐴𝐵=𝑃𝐶𝐶𝐷,∴45=3𝐶𝐷,∴CD=154,∴PD=PC+CD=274.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练1在本例中,若P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.解:如图,∵PB∩PC=P,∴PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.又α∥β,∴AC∥BD,∴△PAC∽△PBD,∴𝑃𝐴𝑃𝐵=𝑃𝐶𝑃𝐷,即𝑃𝐴𝐴𝐵-𝑃𝐴=𝑃𝐶𝑃𝐷.∴45-4=3𝑃𝐷,∴PD=34.∴CD=PC+PD=3+34=154.探究一探究二ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究二证明线面平行证明直线与平面平行,除了定义法,判定定理法以外,还可以用两平面平行的性质,也就是说为了证明直线与平面平行,也可以先证明两平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二典型例题2如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的长.(3)求证:EF∥平面BB1D1D.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二思路分析:(1)证明PQ∥CD1→PQ∥平面DCC1D1或取AD的中点G→证平面PGQ∥平面DCC1D1→PQ∥平面DCC1D1(2)利用PQ=12D1C求解.(3)取B1D1的中点O1→证明BEFO1为平行四边形→EF∥平面BB1D1D或取B1C1的中点E1→证明平面EE1F∥平面BB1D1D→EF∥平面BB1D1DZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二(1)证明:(方法一)如图,连接AC,CD1.∵P,Q分别是AD1,AC的中点,∴PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1,CD1⊂平面DCC1D1,∴PQ∥平面DCC1D1.(方法二)取AD的中点G,连接PG,GQ,则有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G,∴平面PGQ∥平面DCC1D1.又PQ⊂平面PGQ,∴PQ∥平面DCC1D1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二(2)解:由(1)易知PQ=12D1C=√22a.(3)证明:(方法一)取B1D1的中点O1,连接FO1,BO1,则有FO1∥B1C1,且FO1=12B1C1.又BE∥B1C1,且BE=12B1C1,∴BE∥FO1,且BE=FO1,∴四边形BEFO1为平行四边形,∴EF∥BO1.又EF⊄平面BB1D1D,BO1⊂平面BB1D1D,∴EF∥平面BB1D1D.(方法二)取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,且FE1∩EE1=E1,∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F,∴EF∥平面BB1D1D.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二变式训练2如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二证明:因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF=NF,平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12341.已知长方体ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面AC=EF,平面α∩平面A'C'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:由于平面AC∥平面A'C',所以EF∥E'F'.答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12342.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析:根据面面平行的性质定理,A选项正确.答案:ASUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点12343.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为.解析:若a⊂β,则显然满足题目条件.若a⊄β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a⊄β,c⊂β,所以a∥β.答案:a⊂β或a∥βSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点.证明:∵平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,∴C1N∥AM,又AC∥A1C1,∴四边形ANC1M为平行四边形.∴AN=C1M=12A1C1=12AC.∴N为AC的中点.1234SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点