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-1-2.3.2平面与平面垂直的判定A组1.以下角:①异面直线所成角;②直线和平面所成角;③二面角的平面角,可能为钝角的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:异面直线所成角θ的范围是0°θ≤90°;直线和平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°;二面角的平面角θ的范围是0°≤θ≤180°.故可能为钝角的只有二面角的平面角.答案:B2.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ解析:∵m⊂α,m⊥γ,∴α⊥γ.又l⊂γ,∴m⊥l.答案:A3.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是()A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PAD解析:由面面垂直的判定定理知:平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD,A,B,D正确.答案:C4.从二面角α-l-β内的一点P向两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是()-2-A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定解析:如图,设平面PEF交l于点O,连接OE,OF.∵l⊥PE,l⊥PF,∴l⊥平面PEF.∴l⊥OF,l⊥OE.∴∠EOF为二面角α-l-β的平面角,其大小为120°.答案:B5.若以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折后两条直角边的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:如图1,AD⊥DC,AD⊥DB,∴∠CDB=90°,设AB=AC=a,则CD=BD=a,∴CB=a,∴图2中△ABC是正三角形.∴∠CAB=60°.答案:C6.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有对.解析:∵AB⊥平面BCD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.-3-∴平面ADC⊥平面ABC.所以,共有3对互相垂直的平面.答案:37.在平面几何中,有真命题:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.某同学将此结论类比到立体几何中,得一结论:如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直,那么这两个二面角相等或互补.你认为这个结论.(填“正确”或“错误”)解析:如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABC1D1⊥平面BCC1B1,平面CDD1C1⊥平面ABCD,而二面角A-C1D1-C为45°,二面角A-BC-C1为90°.则这两个二面角既不相等又不互补.答案:错误8.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.解析:如图作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sinθ==sin30°·sin60°=.答案:9.在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,AB⊥BC,PB=AB,D,E分别是PA,PC的中点,G,H分别是BD,BE的中点.求证:(1)GH∥平面ABC;(2)平面BCD⊥平面PAC.-4-证明:(1)连接DE,在△BDE中,G,H分别是BD,BE中点,所以GH为△BDE的中位线,所以GH∥DE.在△PAC中,D,E分别是PA,PC中点,所以DE为△PAC的中位线.所以DE∥AC.所以GH∥AC.又GH⊄平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)因为AB=PB,所以BD⊥PA.又∠PBC=∠ABC=90°,所以PC=AC,所以CD⊥PA.所以PA⊥平面BCD.所以平面PAC⊥平面BCD.10.如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,求二面角V-AB-C的大小.解:-5-如图,作VO⊥平面ABCD,垂足为O,则VO⊥AB,取AB中点H,连接VH,OH,则VH⊥AB.∵VH∩VO=V,∴AB⊥平面VHO,∴AB⊥OH,∴∠VHO为二面角V-AB-C的平面角.易求VH2=VA2-AH2=()2-=4,∴VH=2,而OH=AB=1,∴∠VHO=60°.故二面角V-AB-C的大小是60°.B组1.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么()A.α⊥γ,且l⊥mB.α⊥γ,且m∥βC.m∥β,且l⊥mD.α∥β,且α⊥γ解析:如图,平面α为平面AA1D1D,平面β为平面BB1C1C,平面γ为平面ABCD,∵m⊂α,m⊥γ,由面面垂直的判定定理得α⊥γ,又m⊥γ,l⊂γ,∴结合线面垂直的性质得m⊥l.答案:A2.在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC解析:可画出对应图形(图略),则BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,-6-∴BC∥平面PDF,故A成立;由AE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面PAE,故B成立;又DF⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面PAE,故D成立.答案:C3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有()A.1对B.2对C.3对D.5对解析:∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.答案:D4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:-7-连接AC,则AC⊥BD.∵PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD.∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等答案不唯一)5.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC=.解析:因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:16.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的大小为.解析:取BD中点O,连接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,-8-∴AO⊥BD,CO⊥BD,∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.∴∠AOC=90°.又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴△BAD与△BCD均为直角三角形.∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC,∴△ACD为等边三角形.又∵E为CD中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.答案:90°7.如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,对角线AC,BD相交于点O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3.求证:(1)OM∥平面ABD;(2)平面ABC⊥平面MDO.证明:(1)由题意知,O为AC的中点,∵M为BC的中点,∴OM∥AB.又∵OM⊄平面ABD,BC⊂平面ABD,∴OM∥平面ABD.(2)由题意知,OM=OD=3,DM=3,∴OM2+OD2=DM2,∴∠DOM=90°,即OD⊥OM.又∵四边形ABCD是菱形,∴OD⊥AC.∵OM∩AC=O,OM,AC⊂平面ABC,∴OD⊥平面ABC.∵OD⊂平面MDO,∴平面ABC⊥平面MDO.8.-9-如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)证明:如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解:由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.-10-