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-1-2.3.2平面与平面垂直的判定首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.了解二面角及其平面角的概念.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直的问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面图示JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12平面角文字在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围0°≤∠AOB≤180°规定二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12记法棱为l,面分别为α,β的二面角记为α-l-β.如图所示,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-l-Q做一做1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是.答案:45°JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12(3)判定定理.文字语言一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β作用判断两个平面垂直JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12名师点拨平面与平面垂直的判定定理是判断两个平面垂直的最主要方法,该定理可简记为“若线面垂直,则面面垂直”.根据定理,要证两个平面垂直,只需在一个平面内找(或作)一条直线与另一个平面垂直即可.该定理还体现了线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化,也就是说,面面垂直问题最终转化为线线垂直问题.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做2在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如图,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.答案:3ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一证明两个平面垂直(1)证明平面与平面垂直的方法有两个:①利用定义:证明二面角的平面角为直角;②利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.根据面面垂直的定义判定两个平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法.(2)应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题1如图,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:(方法一)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB和△ASC是等边三角形,则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图,连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四在Rt△BSC中,∵SB=SC=a,∴SD=22a,BD=𝐵𝐶2=22a.在Rt△ABD中,AD=22a,在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.(方法二)∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC,∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.∵△SBC为直角三角形,∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,∴AD⊥平面SBC.又∵AD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练1在本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢?解:由方法一或方法二可得SD⊥AD.又∵SD⊥BC,AD∩BC=D,∴SD⊥平面ABC,即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离.∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=12×BC×AD=12×22×2=2,SD=2,∴VS-ABC=13×S△ABC×SD=223.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二求二面角的大小1.作二面角平面角的常用方法:(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四2.求二面角同求异面直线所成的角及斜线与平面所成的角一样,步骤如下:ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题2如图,已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)求二面角B-PA-D平面角的度数;(2)求二面角B-PA-C平面角的度数.思路分析:先依据二面角的定义找相应二面角的平面角,然后借助三角形的边角关系求二面角的平面角的某一三角函数值,最后指出二面角的平面角的大小.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四解:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又由题意∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D平面角的度数为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C平面角的度数为45°.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练2在题设条件不变的情况下,若PA=AD,求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小.解:∵CD∥平面PAB,过P作CD的平行线l,如图,由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,知CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.又CD∥l,∴l⊥PD.∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三垂直关系的综合应用垂直关系的综合应用就是线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.典型例题3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=2a.(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求证:平面PAC⊥平面PBD;(3)求证:二面角P-BC-D是45°的二面角.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:(1)∵PD=a,DC=a,PC=2a,∴PC2=PD2+DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又AD∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD.同时AC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC,又BC⊥DC,∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.在Rt△PDC中,PD=DC=a,∴∠PCD=45°.∴二面角P-BC-D是45°的二面角.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练3如图,在四面体ABCD中,BD=2a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD⊥平面BCD.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:取BD的中点E,连接AE,CE.∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形,∴AE⊥BD,CE⊥BD.又AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC.在△ABD中,AB=a,BE=12BD=22a,∴AE=𝐴𝐵2-𝐵𝐸2=22a,同理,CE=22a.在△AEC中,AE=CE=22a,AC=a,故AC2=AE2+CE2,∴AE⊥CE,∴平面ABD⊥平面BCD.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四易错辨析易错点错认二面角的平面角典型例题4如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA=2AD,二面角P-CD-A的平面角为θ,则tanθ=.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三错解:连接AC,∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是二面角P-CD-A的平面角,∴∠PCA=θ,在△PAC中,PA⊥AC,AC=2AD,又PA=2AD,∴PA=2AC,∴tanθ=tan∠PCA=𝑃𝐴𝐴𝐶=2,故填2.错因分析:错解中,错认为∠PCA是二面角P-CD-A的平面角,其实不然,其原因在于PC,AC与二面角P-CD-A的棱CD不垂直.正解:∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA,又CD⊥AD,且PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD