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-1-2.3.3~2.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习学习目标思维脉络1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明空间中线面的垂直关系.3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习121.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言a⊥αb⊥α⇒a∥b图形语言作用证明两条直线平行JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12做一做1直线n⊥平面α,n∥l,直线m⊂α,则l,m的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.垂直解析:由题意可知l⊥α,∴l⊥m.答案:DJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习122.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言图形语言作用证明直线与平面垂直JICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12名师点拨(1)平面与平面垂直的性质定理是直线与平面垂直的一个判定方法,即“面面垂直,则线面垂直”,揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系.(2)定理中“一个平面内”不可缺少,否则,即使直线与交线垂直,它也不一定和平面垂直.做一做2若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则()A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能答案:DJICHUZHISHI基础知识首页ZHONGDIANNANDIAN重点难点SUITANGLIANXI随堂练习12判一判正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,直线l⊥直线a,直线l⊥直线b⇒直线l⊥平面α.()(2)直线a⊥平面α,直线a⊂平面β⇒平面α⊥平面β.()(3)直线a⊥平面α,直线b∥平面α⇒a⊥b.()(4)若平面α⊥平面β,直线l⊂α,则l⊥β.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究一直线与平面垂直的性质的应用定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.根据该定理可得如下两个结论:过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.典型例题1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1.思路分析:连接AB1与CB1,证明EF与BD1都与平面AB1C垂直.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD,BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1B1.∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习变式训练1在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,l⊥平面PCD,求证:l∥AE.证明:∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.又CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又∵AE⊂平面PAD,∴AE⊥DC.又∵AE⊥PD,PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.又∵l⊥平面PCD,∴AE∥l.探究一探究二探究三探究四ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究二平面与平面垂直的性质的应用平面与平面垂直的性质定理是得到直线与平面垂直的重要方法,因此,在题目中有两平面垂直时,就要考虑利用该性质得到线面垂直.典型例题2如图,已知V是△ABC外一点,VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC.求证:AC⊥AB.思路分析:要证AC⊥AB,可证AC⊥平面VAB,易得VB⊥AC.又平面VAB⊥平面VAC,所以可在平面VAB内过B作VA的垂线,即与AC垂直,则可证.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:在平面VAB内,过点B作BD⊥VA于D.∵平面VAB⊥平面VAC,且交线为VA,∴BD⊥平面VAC.∴BD⊥AC.∵VB⊥平面ABC,∴VB⊥AC.∵BD∩VB=B,且VB⊂平面VBA,BD⊂平面VBA,∴AC⊥平面VBA.∴AC⊥AB.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练2如图,四棱锥V-ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,且VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:∵平面VAB⊥平面ABCD,且BC⊥AB,∴BC⊥平面VAB,∴BC⊥VA.又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA,又VB∩BC=B,∴VA⊥平面VBC.∵VA⊂平面VAC,∴平面VBC⊥平面VAC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四探究三线线、线面、面面垂直的综合应用在关于垂直问题的论证中,要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化,每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如下:ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四典型例题3已知α,β,γ是三个不同的平面,l为直线,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ.思路分析:根据直线和平面垂直的判定定理,可在γ内构造两相交直线分别与平面α,β垂直;或者由面面垂直的性质易在α,β内作出平面γ的垂线,再设法证明l与其平行即可.证法一:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,PB⊥β.∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB.又PA∩PB=P,且PA⊂γ,PB⊂γ,∴l⊥γ.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证法二:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β,∴m∥β.又m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.∴l⊥γ.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四变式训练3如图,已知PA⊥平面ABC,二面角A-PB-C是直二面角.求证:AB⊥BC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究三探究四证明:由二面角A-PB-C为直二面角,得平面PAB⊥平面CPB,且PB为交线.在平面PAB内,过点A作AD⊥PB,D为垂足,则AD⊥平面CPB.又BC⊂平面CPB,所以AD⊥BC.因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,所以AB⊥BC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三探究四折叠问题的求解策略典型例题4如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中点,沿DE将△ADE折起.(1)如果二面角A-DE-C是直二面角,求证:AB=AC;(2)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.思路分析:(1)分别取DE,BC的中点M,N,借助面面垂直的性质证明AN⊥BC,进而说明△ABC为等腰三角形.(2)类比(1)逆向求解便可.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三证明:(1)过点A作AM⊥DE于点M,则AM⊥平面BCDE,∴AM⊥BC.又AD=AE,∴M是DE的中点.取BC中点N,连接MN,AN,则MN⊥BC.又AM⊥BC,AM∩MN=M,∴BC⊥平面AMN,∴AN⊥BC.又∵N是BC中点,∴AB=AC.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三(2)取BC的中点N,连接AN.∵AB=AC,∴AN⊥BC.取DE的中点M,连接MN,AM,∴MN⊥BC.又AN∩MN=N,∴BC⊥平面AMN,∴AM⊥BC.又M是DE的中点,AD=AE,∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线,∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCDE.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习探究一探究二探究四探究三反思1.抓住折叠前后的变量与不变量.一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.2.在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度、角度的变化情况.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123451.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC解析:∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,∴PD⊥平面ABC.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123452.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是()A.m∥nB.n⊥mC.n∥αD.n⊥α解析:已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,m⊂α,应增加条件n⊥m,才能使得n⊥β.答案:BSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123453.如图所示,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=.解析:∵AF⊥平面AC,DE⊥平面AC,∴AF∥DE.又∵AF=DE,∴四边形ADEF是平行四边形.∴EF=AD=6.答案:6SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点123454.已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n