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第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列学习目标导航基础知识梳理典型例题剖析重点难点突破随堂练习巩固1.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.能根据离散型随机变量的意义,求出某些简单的离散型随机变量的分布列.3.通过实例,能对两点分布、超几何分布有所理解,理解其公式的推导过程,并能简单的运用.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习1.离散型随机变量(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.(2)随机变量和函数都是一种映射,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.在随机试验中,可能出现的结果都可以用一个数来表示,如掷一枚硬币,“正面向上”用数字“1”表示,这个数在随机试验发生前是无法预先确定的,在不同的随机试验中,结果可能有变化.说明随机试验的结果可以用一个变量来表示,如某人射击一次,可能命中0环,1环,…,10环等结果,即可能结果用0,1,2,…,10这11个数表示.所谓随机变量不过是建立起基本事件与实数的一个对应关系.(3)所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做1】下列随机变量中不是离散型随机变量的是()A.盒子里有除颜色不同,其他完全相同的红球和白球各5个,从中摸出3个球,白球的个数XB.小明答20道选择题答对的道数XC.某人早晨在车站等出租车的时间XD.某人投篮10次投中的次数X解析:选项A,B,D中的随机变量X的所有取值可以一一列出,因此是离散型随机变量.选项C中随机变量X可以取一区间内的一切值,但无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量.答案:CZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习2.离散型随机变量的分布列(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.用等式可表示为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,也可以用图象来表示X的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;②∑𝑖=1𝑛pi=1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机试验数量特征的基础.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做2-1】已知随机变量ξ的分布列P(ξ=k)=12𝑘,k=1,2,3,…,则P(2ξ≤4)等于()A.316B.14C.116D.15解析:P(2ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=123+124=316.答案:AZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做2-2】随机变量X的分布列如下,则m等于()X1234P14m1316A.13B.12C.16D.14解析:由14+m+13+16=1,得m=14.答案:DZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习3.两点分布与超几何分布(1)两点分布列为:X01P1-pp如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率.(2)一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=C𝑀𝑘C𝑁-𝑀𝑛-𝑘C𝑁𝑛,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列X01…mPCM0CN-Mn-0CNnCM1CN-Mn-1CNn…CMmCN-Mn-mCNn为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.ZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做3-1】高二(1)班数学兴趣小组有12人,其中有5名“三好学生”,现从该小组中任意选6人参加数学竞赛,用X表示这6人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于C53C73C126的是()A.P(X=2)B.P(X=3)C.P(X≤2)D.P(X≤3)解析:C53表示从5名“三好学生”中选择3名,从而P(X=3)=C53C73C126.答案:BZHONGDIANNANDIAN重点难点首页JICHUZHISHI基础知识SUITANGLIANXI随堂练习【做一做3-2】在一次旅游目的地的选择投票中,令X=0,安徽黄山,1,四川九寨沟,如果选择安徽黄山的概率为0.6,请你写出随机变量X的分布列.分析:本题考查的是两点分布,结合分布列的性质即可求解.解:根据分布列的性质,选择四川九寨沟的概率为1-0.6=0.4.则随机变量X的分布列为X01P0.60.4学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固1.如何辨别一个变量是否是离散型随机变量剖析:首先搞清离散型随机变量的含义,其次还要清楚除了离散型随机变量还有连续型随机变量,即如果随机变量可以取一个区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量.对离散型随机变量来说,它所取的值可以按一定次序一一列出.辨别的关键是搞清随机变量到底取什么样的值,是在一个连续区间上取值,还是所有取值可以一一列出.学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固2.写离散型随机变量的分布列的步骤是什么剖析:要写离散型随机变量的分布列,就要求出P(X=xi)(i=1,2,…,n),而P(X=xi)=pi,要求基本事件的概率就要用到等可能性事件的概率、排列组合、加法原理、乘法原理等知识和方法.一个分布列写的是否正确,一是看随机变量的取值,二是根据分布列的两条性质来检验.求离散型随机变量的分布列的步骤:(1)找出随机变量可能的取值xi(i=1,2,…,n);(2)求出对应取值的概率P(X=xi)=pi;(3)列出表格.对随机变量的取值要分清是有限的还是无限的,若是无限的,后面要用省略号表示.随机变量分布列与函数类似,可以有不同的给出方式,除了列表格,还可以用等式来表示,也可以用图象来表示.对不同的变量选择一个合适的表示方式.学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固【示例】某班有学生45人,其中O型血的有10人,A型血的有12人,B型血的有8人,AB型血的有15人,现从该班选出1人,其血型为随机变量X,求X的分布列.分析:(1)先定义各种血型的随机变量,得到随机变量的可能取值.设O,A,B,AB四种血型分别编号为1,2,3,4,则X的可能取值为1,2,3,4.(2)求出对应取值的概率P(X=xi)=pi:P(X=1)=C101C451=29,P(X=2)=C121C451=415,P(X=3)=C81C451=845,P(X=4)=C151C451=13.(3)X的分布列为X1234P2941584513SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型一离散型随机变量的分布列【例1】袋中装有编号为1~6的同样大小的6个球,现从袋中随机取3个球,设ξ表示取出3个球中的最大号码,求ξ的分布列.分析:确定随机变量ξ的所有可能取值,分别求出ξ取各值的概率.解:根据题意,随机变量ξ的所有可能取值为3,4,5,6.ξ=3,即取出的3个球中最大号码为3,其他2个球的号码为1,2,所以,P(ξ=3)=C22C63=120;ξ=4,即取出的3个球中最大号码为4,其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取,所以,P(ξ=4)=C32C63=320;ξ=5,即取出的3个球中最大号码为5,其他2个球可以在号码为1,2,3,4的4个球中取,所以,P(ξ=5)=C42C63=310;SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四ξ=6,即取出的3个球中最大号码为6,其他2个球可以在号码为1,2,3,4,5的5个球中取,所以,P(ξ=6)=C52C63=12.所以,随机变量ξ的分布列为ξ3456P12032031012求离散型随机变量的分布列关键有两点:(1)随机变量的取值;(2)每一个取值所对应的概率.所求是否正确,可通过概率和是否为1来检验.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型二离散型随机变量分布列的性质及应用【例2】设随机变量X的分布列P𝑋=𝑘5=ak(k=1,2,3,4,5).(1)求常数a的值;(2)求P𝑋≥35;(3)求P110𝑋710.分析:已知随机变量X的分布列,根据分布列的性质确定a的值及相应区间的概率.解:由题意,所给分布列为X1525354555Pa2a3a4a5aSUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四(1)由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=115.(2)P𝑋≥35=P𝑋=35+P𝑋=45+P𝑋=55=315+415+515=45,或P𝑋≥35=1-P𝑋≤25=1-115+215=45.(3)∵110X710,∴X=15,25,35.∴P110𝑋710=P𝑋=15+P𝑋=25+P𝑋=35=115+215+315=25.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四(1)离散型随机变量的特征是能一一列出,且每一个值各代表一个试验结果,所以研究随机变量时,关键是随机变量能取哪些值.(2)在求概率pi时,充分运用分布列的性质,既可减少运算量,又可验证所求的分布列是否正确.(3)一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四题型三超几何分布的应用【例3】某高二数学兴趣小组有7位同学,其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛,求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数ξ的分布列及P(ξ2).分析:该问题与抽取产品在本质上是一致的,从而可用超几何分布解决.解:由题意可知,ξ的可能取值为0,1,2,3.则P(ξ=0)=C40C33C73=135,P(ξ=1)=C41C32C73=1235,P(ξ=2)=C42C31C73=1835,P(ξ=3)=C43C30C73=435.所以随机变量ξ的分布列为ξ0123P13512351835435P(ξ2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=135+1235=1335.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重点难点题型一题型二题型三题型四超几何分布是一种很重要的分布,其理论基础是古典概型,主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型,其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数.SUITANGLIANXI随堂练习首页JICHUZHISHI基础知识ZHONGDIANNANDIAN重